- •Розділ 3. Лінійні системи диференціальних рівнянь
- •3.2. Лінійні неоднорідні системи.
- •3.3. Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами.
- •Розділ 4. Нормальні системи диференціальних рівнянь
- •4.2. Перші інтеграли нормальної системи .
- •4.4. Симетрична форма системи диференціальних рівнянь.
- •Розділ 5. Рівняння з частинними похідними першого порядку
- •5.1. Постановка задачі про інтегрування рівнянь з частинними похідними.
- •5.2. Лінійне однорідне рівняння з частинними похідними першого порядку.
- •5.3. Задача Коші для лінійного однорідного рівняння в частинних похідних першого порядку.
- •5.4. Квазілінійне рівняння з частинними похідними першого порядку.
- •5.5. Задача Коші для квазілінійного рівняння.
Розділ 3. Лінійні системи диференціальних рівнянь
3.1. Загальна теорія лінійних однорідних систем. У цьому розділі ми розглянемо один клас нормальних систем диференціальних рівнянь – системи лінійних диференціальних рівнянь. Це системи вигляду
(3.1.1)
Стосовно коефіцієнтів і функцій припускаємо, що вони неперервні у проміжку . Тоді згідно з теоремою Коші для нормальних систем існує єдиний розв’язок системи (3.1.1) у проміжку , який задовольняє початкові умови
. (3.1.2)
Введемо позначення
Тоді систему (3.1.1) можна записати у вигляді
. (3.1.3)
Якщо , то систему називають лінійною однорідною, якщо хоча би одна з функцій відмінна від нуля, то систему називають неоднорідною.
Розглянемо спочатку лінійну однорідну систему
. (3.1.4)
Вектор-функцію називають розв’язком системи (3.1.4), якщо вона перетворює рівняння системи в тотожності, тобто
.
Теорема 3.1. Якщо і – частинні розв’язки лінійної однорідної системи, то їх сума також буде розв’язком цієї системи.
Згідно умови теореми . Використовуючи властивість лінійного оператора, одержуємо
.
Теорема доведена.
Теорема 3.2. Якщо частинний розв’язок лінійної однорідної системи, то також буде розв’язком цієї системи за будь-якої сталої .
Доводиться аналогічно.
Наслідок. Якщо частинні розв’язки лінійної однорідної системи, то розв’язком цієї системи буде функція
. (3.1.5)
Означення. Вектор-функції називають лінійно залежними на проміжку , якщо існують такі числа , не всі одночасно рівні нулю, що для усіх виконується тотожність
. (3.1.6)
Якщо ж ця тотожність можлива лише тоді, коли усі , то вектор-функції називають лінійно незалежними.
Розглянемо систему вектор-функцій
Утворимо визначник, який називають визначником Вронського
.
Теорема 3.3. Якщо система вектор-функцій лінійно залежна у проміжку , то у проміжку .
Згідно умови теореми виконується тотожність (3.1.6). Запишемо цю рівність як лінійну алгебричну систему
(3.1.7)
Розглядаючи систему (3.1.7) як лінійну однорідну алгебричну систему стосовно чисел , ми бачимо , що вона має ненульовий розв’язок. Це означає, що визначник системи тотожньо дорівнює нулю. Але цей визначник і є визначником Вронського. Теорема доведена.
Теорема 3.4. Якщо лінійно незалежні у проміжку частинні розв’язки лінійної однорідної системи, то їх визначник Веронського не обертається в нуль ні в одній точці проміжку .
Допустимо протилежне. Нехай . Введемо позначення
. Утворимо систему
(3.1.8)
Система (3.1.8) є лінійною однорідною системою стосовно . Оскільки визначник системи є визначником Веронського у точці , а він згідно припущення дорівнює нулю, то система (3.1.8) має ненульовий розв’язок. Позначимо його . Побудуємо функцію
.
Згідно з наслідком з теорем 3.1 і 3.2 ця функція буде розв’язком лінійної однорідної системи. Оскільки задовольняють систему (3.1.8), то . Це означає, що
.
Згідно теореми Коші розв’язок лінійної однорідної системи з нульовими початковими умовами , і цей розв’язок єдиний. Тому маємо тотожність
.
Виходить, що розв’язки лінійно залежні, що суперечить умові теореми.
З двох останніх теорем можемо зробити такий висновок:
Визначник Вронського розв’язків лінійної однорідної системи або тотожньо дорівнює нулю у проміжку неперервності коефіцієнтів, або не обертається в нуль ні в одній точці цього проміжку.
Означення. Систему лінійно незалежних частинних розв’язків лінійної однорідної системи називають фундаментальною системою.
Теорема 3.5. Якщо коефіцієнти лінійної однорідної системи неперервні у проміжку , то існує фундаментальна система розв’язків, визначених і неперервних у цьому проміжку.
Візьмемо довільний визначник, який відмінний від нуля.
.
Визначимо частинних розв’язків системи, які задовольняють початкові умови
.
Згідно теореми Коші ці розв’язки існують. Визначник Вронського цієї системи у точці співпадає з визначником , тому відмінний від нуля. Отже, ця система розв’язків є фундаментальною.
Теорема 3.6. Якщо фундаментальна система розв’язків лінійної однорідної системи у проміжку , то формула
(3.1.9)
дає загальний розв’язок цієї системи у проміжку .
Ми вже знаємо, що функція (3.1.9) є розв’язком лінійної однорідної системи. Треба довести, що з цієї формули можна одержати будь-який частинний розв’язок. Виберемо довільний частинний розв’язок, задавши довільні початкові умови.
, (3.1.10)
де довільно задані числа. Згідно з теоремою Коші задача (3.1.4) – (3.1.10) має єдиний розв’язок. Треба показати, що він міститься у формулі (3.1.9). Підставимо початкові умови (3.1.10) у формулу (3.1.9). Одержимо систему
(3.1.11)
Система (3.1.11) – лінійна неоднорідна система, визначник якої є визначником Вронського фундаментальної системи розв’язків. Тому цей визначник відмінний від нуля. Отже, система (3.1.11) має єдиний розв’язок. Позначимо його . Підставимо ці числа у формулу (3.1.9).
.
Це й буде шуканий розв’язок. Теорема доведена.
Теорема 3.7. Будь-які частинні розв’язки лінійної однорідної системи рівнянь будуть лінійно залежними.
Доведення аналогічне доведенню відповідної теореми для лінійного однорідного рівняння го порядку.
Формула Остроградського-Ліувілля.
Обчислимо похідну визначника Вронського фундаментальної системи
.
визначник, отриманий з шляхом диференціювання го рядка. Розглянемо і врахуємо той факт, що частинні розв’язки лінійної однорідної системи (3.1.4).
,
бо в останньому визначнику перший рядок є лінійною комбінацією решти го рядків, тому він дорівнює нулю. Аналогічно отримуємо, що . Тоді
.
Інтегруємо це диференціальне рівняння
.
Підставивши у цю формулу , одержуємо . Остаточно
.
Останню формулу і називають формулою Остроградського- Ліувілля для лінійних систем.