- •Джиргалова с.Б., Киреева о.В., Тугульчиева в.С.
- •Лабораторная работа №1 Первообразная. Неопределенный интеграл.
- •Лабораторная работа №2 Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям.)
- •Замена переменной.
- •Интегрирование по частям.
- •1)Обычно в интегралах вида
- •3) Интегралы вида
- •Варианты
- •Лабораторная работа №3 Интегрирование рациональных выражений. Метод неопределенных коэффициентов.
- •Лабораторная работа № 4 Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского.
- •1. В чем заключается метод Остроградского и когда им пользуются? лабораторная работа №5 Интегрирование тригонометрических функций.
- •Варианты
- •Лабораторная работа №6 Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
- •Интегрирование выражений вида
- •Интегрирование биноминальных дифференциалов.
- •III. Интегрирование выражений вида . Подстановки Эйлера.
- •Лабораторная работа №7 Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов.
- •Варианты
- •Лабораторная работа №8. Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Варианты
- •Лабораторная работа №9. Геометрические приложения определенного интеграла . Площадь плоской фигуры.
- •Лабораторная работа №10 Геометрические приложения определенного интеграла. Длина дуги кривой.
- •Литература:
Лабораторная работа №9. Геометрические приложения определенного интеграла . Площадь плоской фигуры.
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции = , ( 0), двумя прямыми = , = и осью OX , или площадь криво-линейной трапеции, ограниченной дугой графика функции = , в (рис.1), вычисляется по формуле :
(1)
рис 1.
Площадь фигуры , ограниченной графиками непрерывных функции и и двумя прямыми = , = (рис.2), определяется по формуле :
(2)
рис. 2
Пример1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полуплоскости и ограниченной окружностью и параболой
Решение:
найдем точки пересечения кривых ( рис.3), решив систему уравнений :
рис. 3
Используя симметрию относительно оси OX , найдем искомую площадь как удвоенную сумму площадей криволинейных трапеций ,ограниченных соответственно дугами параболы , 0x2 и окружностью.
S=
=
Иногда удобно использовать формулы , аналогичные (1) и (2) , но по переменной (считая x функцией от ), в частности
(3)
Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения = , = , прямыми = , = и осью OX, то площадь вычисляется по формуле :
(4),
где пределы интегрирование находятся из уравнений на отрезке .
Формула (4) применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой ( изменения параметра t от до должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).
Пример2. Найти площадь петли кривой
Решение: Найдем точки пересечения кривой с координатами осями. Имеем : x=0 при t= ; y=0 при t=0, t= .Следовательно, получаем следующие точки:
при t=1; при t=-1;
при t=0; при t= .
Точка является точкой самопересечения кривой. При
При (рис.4).
График функции ; , при
Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее половины:
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами где - полярные координаты, или площадь криволинейного сектора , ограниченного дугой графика функции , , вычисляется по формуле:
(5).
Пример 3. Найти площадь лунки , ограниченной дугами окружностей Окружности пересекаются при ; рассматриваемая фигура ( рис.5) симметрична относительно луча .
График функции ; , при
Следовательно, ее площадь можно вычислять так:
ВАРИАНТЫ
Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
В-1.
и ее асимптотой.
Кардиоидой .
.
В-5.
и касательные к ней , проведенные через токи
одной аркой циклиды
В-3.
касательной к ней в точке и осью OX.
Астроидой
( Бернулли ) .
В-4.
, касательной к ней в точке x=e и осью OX.
Петли линии .
( улитка Паскаля )
В-5.
, касательной к ней в точке .
Одной арки циклоиды и OX.
.
В-6.
касательной к ней в точке и x=1.
Петли линии
(кардиоида)
В-7.
касательной к ней в точке M к осью ординат.
Петли кривой
( лепестковая роза).
В-8.
Параболой и гиперболой
(в не круга )
В-9
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательными к этому графику, проведенными через точку .
В-10
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательными к этому графику, проведенными через точку .
В-11
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций , и осью ординат.
В-12
2)
3)
4)
В-13
В-14
В-15
В-16
В-17
1)
В-18
1)
В-19
В-20
площадь, ограниченную кардиоидой и окружностью .
В-21
В-22
одной петлей кривой
4) (общая область)
В-23
В-24
В-25
Вычислить площадь, ограниченную параболой и осью абсцисс.
Вопросы к лабораторной работе №9:
Какая фигура называется квадрируемой? Какие вы знаете условия квадрируемости?
Какими свойствами обладает квадрируемая фигура?
Как вычисляется площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми и непрерывными кривыми и , при условии, что для ?