31. Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

F (x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y⁽ⁿ⁾(x)) = 0,

где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме:

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y ',  y '',  …  , y^{(n − 1)}).

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.

Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x₀) = y₀,  y '(x₀) = y₁,  y ''(x₀) = y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1}.

Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y(x) уравнения

F(x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y^(n )(x)) = 0,    x>x₀,

удовлетворяющего условиям

y(x₀) = y₀,  y '(x₀) = y₁,  y ''(x₀) = y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1}.

Условия   y(x₀) = y₀,  y '(x₀) = y₁,  y ''(x₀) = y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1} называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.

Любое конкретное решение y = φ(x) уравнения n –го порядка F(x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y^(n )(x)) = 0, называется частным решением.

Общим решением дифференциального уравнения

F(x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y^(n )(x)) = 0

называется функция

y = Ф(x,  С₁, С₂, … , С_n),

содержащая некоторые постоянные (параметры) С₁, С₂, … , С_n, и обладающая следующими свойствами:

1. Ф(x, С₁, С₂,  … , С_n) является решением уравнения при любых допустимых значениях С₁, С₂, … , С_m;

2. для любых начальных данных  y(x₀) = y₀,  y '(x₀) = y₁,  y ''(x₀) = y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1},для которых задача Коши имеет единственное решение,существуют значения постоянных С₁ = A₁, С₂ = A₂,  … , С_n = A_n, такие что решение y = Ф(x, A₁, A₂,  …, A_n) удовлетворяет заданным начальным условиям.

Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f(x, y) = 0 или G(x, y, С₁,  С₂,  ..., С_n) = 0.

Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интеграломуравнения.

32. Линейным однородным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Коэффициенты уравнения a_n-1(x), a_n-2(x), ..., a₁(x), a₀(x) и правую часть f(x) полагаем непрерывными на отрезке [a;b] .

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n –го порядка:

L(y) ≡ y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y.

L(y) = 0 — однородное уравнение в операторной записи.

При изучении линейных дифференциальных уравнений используются пространства C[a;b] — пространство непрерывных на отрезке [a;b] функций, и C_k [a;b] — пространство функций, непрерывных на [a;b] , вместе со своими производными до k –го порядка включительно.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^{(n - 1)} + ... + a₁y' + a₀y = 0.

Коэффициенты a_n-1, ... , a₁, a₀ — постоянные десйствительные числа.

Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx).

Подставим функцию y(x) = exp(λx) в уравнение:

y(x) = exp(λx),

y'(x) = λexp(λx),

y''(x) = λ²exp(λx),... ,

yⁿ(x) = λⁿexp(λx),

λⁿexp(λx) + a_n-1λ^n-1exp(λx) + ... + a₁λexp(λx) + a₀exp(λx) = 0,

exp(λx)(λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀) = 0.

Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда

λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0.

Уравнение λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0 называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Многочлен n-й степени P_n(x) = λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀называется характеристическим многочленом уравнения.

Справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера).

Для того чтобы функция y(x) = exp(λ₀x) была решением уравнения y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^{(n - 1)} + ... +a₁y' + a₀y = 0, необходимо и достаточно, чтобы число λ₀ было корнем характеристического уравнения λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0.

Из теоремы Эйлера следует следующее утверждение.

Если числа λ₁≠ λ₂≠ ... ≠ λ_n — различные действительные корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то функции exp(λ₁x), exp(λ₂x), ..., exp(λ_nx) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:

y(x) = C₁exp(λ₁x) + C₂exp(λ₂x)+ ...+ C_nexp(λ_nx).

Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплекснымичислами, могут быть простыми и кратными.

Справедливы следующие утверждения.

Если числа λ₁≠ λ₂≠ ... ≠ λ_n — различные действительные корни характеристического уравнения , то функции

exp(λ₁x), exp(λ₂x), ..., exp(λ_nx) образуют фундаментальную систему решений уравнения.

Если λ = λ₀ — действительный корень характеристического уравнения кратности r, то rфункций

exp( λ₀x), xexp( λ₀x), x²exp( λ₀x), ..., x^r-1exp( λ₀x) — линейно независимые решения уравнения.

Если λ = λ₀ = α ± βi — комплексно сопряженная пара корней характеристического уравнения, то функции

exp( α x)cos(βx), exp( α x)sin(βx) — линейно независимые решения уравнения.

Если λ = λ₀ = α ± βi — комплексно сопряженная пара корней характеристического уравнения кратности r , то 2r функций

exp( α x)cos(βx), exp( α x)sin(βx), xexp( α x)cos(βx), xexp( α x)sin(βx), ..., x^r-1exp( αx)cos(βx), x^r-1exp( α x)sin(βx) — линейно независимые решения уравнения.