Индивидуальное задание 1 по теории вероятности

Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет

Кафедра высшей математики II

ОТЧЕТ ПО ИНДИВИДУАЛЬНОМУ ЗАДАНИЮ №1 ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

студента группы №2342 Пироговского Владислава

Вариант № 18

Санкт Петербург

• 2004 –

Задача №1

Формулировка:

В электрическую цепь включены параллельно два прибора. Вероятность отказа первого прибора равна 0,1, второго 0,2.

Найти вероятность того, что откажет хотя бы один прибор этой цепи.

Решение:

Элементарные события:

w1=1 работает, 2 работает

w2=1 отказ, 2 работает

w3=1 работает, 2 отказ

w4=1 отказ, 2 отказ

Благоприятствующие элементарные события:

w2, w3, w4

Введем события:

А – отказ 1 прибора

В – отказ 2 прибора

Очевидно, события независимы между собой и совместимы, тогда:

P(A) = 0,1

P(B) = 0,2

P(AB) = P(A)P(B) = 0,02

Таким образом, по теореме сложения

P(AUB) = 0.1+0.2-0.02 = 0.28

ОТВЕТ: вероятность того, что откажет хотя бы один прибор = 0,28.

Задача № 2.

Формулировка:

Если при бросании кости выпадает больше 2-х очков, то вынимают 2 шара из первой урны, содержащей 1 красный и 4 чёрных шара. Иначе два шара берутся из второй урны, содержащей 3 красных и 2 чёрных шара. Вытащили 1 красный и 1 чёрный шар. Какова вероятность, что они взяты из первой урны?

Решение:

Событие А – вытащили красный и черный шары (из 1 или из 2 урны)

гипотеза Н1 – на кости выпало более двух очков Р(Н1)=4/6=2/3

гипотеза Н2 – на кости выпало менее 2 или 2 очка Р(Н2)=2/6=1/3

Гипотезы и событие А удовлетворяют условиям применения формулы полной вероятности, т.к.

1. Н1 и Н2 несовместны

2. Р(Н1)>0 и Р(Н2)>0

3. A ( Н1 U H2

Рассмотрим Р(А/Н1):

Вероятность Р(А/Н1) посчитаем как разность 1-Р(2 черных), т.к. возможно только 2 исхода (либо один красный, другой черный; либо оба черных, т.к. в 1-й урне только один красный шар).

Р(А/Н1)=1-(4/5)(3/4) = 2/5

Рассмотрим Р(А/Н2):

Вероятность Р(А/Н2) посчитаем как разность 1-Р(2 черных)-Р(2 красных).Здесь возможно 3 исхода (либо один красный, другой черный; либо оба черных; либо оба красных).

Р(А/Н2)=1-(2/5)(1/4)-(3/5)(2/4) = 3/5

По формуле Байеса:

= =4/7

Ответ: вероятность, что шары взяты из первой урны 4/7.

Задача № 3.

Формулировка:

Центр наблюдения поддерживает связь с шестью самолетами, выполняющими учебное задание при условии создания противником активных помех. Связь после ее нарушения не восстанавливается. Вероятность потери связи за период выполнения задания 0,2.

Найти вероятность того, что в момент окончания задания центр потеряет связь не более чем с третью самолетов.

Решение:

Событие, о котором идет речь, сводится к тому, что будет поддерживаться связь не менее чем с 4-мя самолётами.

P того, что связь поддерживается с самолётом – 0,8

A(4,6) – событие, состоящее в том, что будет поддерживаться связь не менее чем с 4-мя самолётами из 6.

Его вероятность обозначим через R(4,6).

Тогда по теореме сложения:

R(4,6) = P(4,6)+P(5,6)+P(6,6),

где P(i,6) – ровно с i самолётами связь поддерживается

тогда R(4,6) = C(4,6)*0.8⁴*0.2²+C(5,6)*0.8⁵*0.2+0.8⁶=15* 0,4096* 0,04+6* 0,32768*0.2+ 0,262144 = 0.901

Ответ: вероятность того, что в момент окончания задания центр потеряет связь не более чем с третью самолетов = 0.901.