2. Аппроксимация функций

2.1. Основные сведения

Определение. Величина называется функцией переменной величины , если каждому из тех значений, которые может принимать , поставлено в соответствии по определенному закону одно или несколько значений . При этом переменная величина называется аргументом. Аргумент всегда переменная величина, функция, как правило, тоже.

Говорят также: величина зависит от ; сообразно с этим аргумент называют независимой переменной, функцию – зависимой.

Тот факт, что есть функция от выражают в записи так

, (2.1)

где - - обозначен закон соответствия между и . (функциональная зависимость).

Известно три способа задания функциональной зависимости:

1. аналитический;

2. графический;

3. табличный.

Аналитический способ состоит в указании функции одной или несколькими математическими формулами.

Преимущества:

возможность получения значения для любого фиксированного аргумента с любой точностью и с наименьшими затратами по времени (так как этот способ прямо указывает действия и последовательность их выполнения над независимой переменной для получения соответствующего значения величины ).

Недостатки:

1) на практике часто неизвестна аналитическая формула

2) в некоторых случаях, если известна, то настолько громоздка (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.п.), что ее использование в практических расчетах затруднительно

3) не наглядность с точки зрения поведения функциональной зависимости.

Графический способ состоит в проведении линии (графика) в декартовой системе координат, у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции.

Достоинства:

1) легкость обозрения картинки в целом

2) непрерывность изменения аргумента.

Недостатки:

Ограниченная степень точности, что приводит к утомительности прочитывания значений функции с максимально возможной точностью.

Табличный способ заключается в том, что для избранных значений аргумента указываются соответствующие значения с определенной степенью точности.

Достоинства:

Он сразу дает числовые значения функции для табличного значения аргумента.

Недостатки:

1) Таблица трудно обозрима в целом

2) Она часто не содержит всех необходимых значений аргумента, а для получения этих значений могут потребоваться либо очень сложные расчеты либо проведение дорогостоящих экспериментов.

Задача аппроксимации функции в вычислительной математике позволяет приближенно вычислить значение функции при любом значении аргумента (из некоторой области) с наименьшими затратами времени и средств, если функция задана таблично, т.е. когда аналитическая функциональная зависимость неизвестна либо очень громоздка. И сводится к замене (аппроксимации) данной функций приближенной функцией так, чтобы отклонение (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей. На практике в качестве чаще всего рассматривают многочлен

(2.2)

Таким образом задача аппроксимации функции сводится к подбору коэффициентов , , чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена функции что касается самого понятия «малое отклонение», то оно уточняется при рассмотрении конкретных способов аппроксимации.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. К ней относятся, например, интерполирование, среднеквадратичное приближение. При построении приближения на непрерывном множестве точек, например, не отрезке , аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).

Интерполирование

Один из основных типов точечной аппроксимации. Оно состоит в следующем: для данной табличной функции строим многочлен (2.2), принимающий в заданных точках те же значения , что и функция , т.е.

, (2.3)

при этом, среди нет одинаковых, т.е. при .

Точки называются узлами интерполирования, а многочлен - интерполирующим многочленом.

Таким образом, близость интерполирующего многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

Максимальная степень интерполяционного многочлена . В этом случае говорят о глобальной интерполяции, поскольку один многочлен

(2.4)

используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента .

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала. В этом случае имеет кусочную (или локальную) интерполяцию.

Как правило, интерполяционные многочлены используются для аппроксимации функции в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции.

однако иногда они используются и для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка или . Это приближение называется экстраполяцией.

Линейная интерполяция – простейший и часто используемый вид локальной интерполяции. Она состоит в том, что заданные точки соединяют прямолинейными отрезками и функция приближается ломаной с вершинами в данных точках.

Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные, так как имеется n интервалов , то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение многочлена первой степени

(2.5)

В частности для і-го интервала по (2.3) имеем

отсюда

(2.5)

или используя уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента , а затем подставить его (границы интервала) в формулу (2.5).

Квадратичная (параболическая) интерполяция – в качестве интерполяционной функции на отрезке принимается квадратный трехчлен

(2.6)

Уравнение (2.6) содержит 3 неизвестных коэффициента, для определения которых необходимы 3 уравнения по (2.3) имеем

Интерполяция для любой точки проводится по 3-м ближайшим к ней углам.