11Геометрическое определение вероятности

Обобщением понятия "классической вероятности" на случай опытов с бесконечным (вообще говоря, несчетным) числом исходов является понятие "геометрической вероятности". К этому понятию приводят задачи на подсчет вероятности попадания точки в некую область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т.д.).

Пусть пространство элементарных событий Ω представляет собой некоторую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области А, содержащиеся в Ω.

Вероятность попадания в область А точки, наудачу выбранной из области Ω, называется геометрической вероятностью события А и находится по формуле:

p(A)=S(Ω)/S(Ω),

где S(A) и S(Ω) площади областей А и Ω соответственно.

Случай, когда Ω представляет собой отрезок или трехмерную область, рассматривается аналогично.

Статистическое определение вероятностей

Материалы по теме: относительная вероятность, статическая вероятность, вероятность, высшая математика, лекция по высшей математике

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота А определяется формулой:

где m-число появлений события, n-общее число испытаний.

Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события.

12Формула полной вероятности.

Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A, ..., HnA. Следовательно,

Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем

Но (i=1, 2, ..., n), поэтому

Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1, H2, ..., Hn часто называют «гипотезами».

формула Байеса. Пусть — полная группа событий, и — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие если в результате эксперимента наблюдалось событие может быть вычислена по формуле:

Доказательство. По определению условной вероятности,

13Элементы комбинаторики

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества из k элементов.

Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множества Х.

Если выбор элементов множества из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле (размещения с повторениями).

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством

(размещения без повторений).

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается и равно

.

Справедливы равенства: . .

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.