59. Центральная предельная теорема теории вероятностей для одинаково распределенных случайных величин. Формулировка и смысл.

 Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при к-ых возникает нормальный закон распределения Простейший вариант Центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятностей таков.

          Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть X₁, X₂,…, X_n, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) = m и дисперсиями  D(X_i) =  , i = 1, 2,…, n,… Тогда для любого действительного числа х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

          Эту теорему иногда называют теоремой Линдеберга-Леви.

ЦПТ имеет огромное значение для применений теории вероятностей в естествознании и технике. Ее действие проявляется там, где наблюдаемый процесс подвержен влиянию большого числа независимых случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение процесса. Наблюдатель, следящий за состоянием процесса в целом, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов. Эта схема поясняет также исключительное место, которое нормальное распределение занимает среди других вероятностных распределений.

ЦПТ дает возможность аппроксимировать распределение сумм независимых с.в. нормальным распределением, чем часто пользуются на практике. В связи с этим, очень важным является вопрос о том, насколько быстро допредельное выражение в ЦПТ приближается к  . 

1. Основні поняття математичної статистики

1. Предмет математичної статистики. Що називається статистичною сукупністю?

Математична статистика-розділ математики, присвячений математичним методам систематизації,обробки і використанню статистичних даних для наукових і практичних висновків.

Предмет математичної статистики становлять прийоми й способи наукового аналізу даних, що відносяться до масових явищ з метою визначення характеристик, що узагальнюють ці дані, виявлення статистичних закономірностей , стійких взіємозвязків і тенденцій розвитку досліджуваних явищ і процесів.

Множина однорідних об’єктів що підлягають статистичному вивченню -статистична сукупність.Окремі об’єкти –одиниці сукупності.Їч кількість-обєм сукупності.

2. Визначення генеральної й вибіркової сукупностей. Наведіть приклади.

Вибіркова сукупність – та частина об’єктів що відібрана для безпосереднього вивчення з генеральної сукупності.

Вибіркова сукупність належить генеральній сукупності,яка маже мати як скінченний так і нескінченний об’єм.

Например, если из 1000 деталей от обрано для обследования 100 , то обьем генеральной совокупности N=1000, а обьем выборки n=100;

3. Який статистичний метод називається вибірковим методом?

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД — метод статистического наблюдения, при котором изучаются не все, а случайно отобранные единицы исследуемой совокупности

4. Що розуміється під репрезентативністю вибіркової сукупності? Помилки репрезентативності і їхні види.

Репрезентативність –властивість вибірки адекватно й вирогідно відтворювати характеристики генеральної сукупності.

Помилка репрезентативності(помилка вибірки) різниця між даними генеральної і вибіркової сукупності.

Помилки репрезентативності поділяються на

Випадкові:результат дій різних випадкових факторів ,виникають в силу того що вибірка неповно відтворює всю генеральну сукупність

Систематичні:виникають у наслідок порушення правил відбору одиниць сукупності.

5. Визначення варіаційного ряду. Види варіаційних рядів.

Варіаційний ряд частот-ранжируваний ряд варіантів і відповідних їм частот.

Варіаційний ряд-дискретній, якщо будь-які його варіанти відрізняються на деяку величину ,інтервальний якщо варіанти можуть відрізнятись на як завгодно малу величину.

6. Поняття варіанта. Як обчислюються й що означають частота та відносна частота варіанта?

Різні значення ознаки що спостерігається у елементів сукупності називаються варіантами(V1,V2,…,V_k), числа які показують скільки разів зустрічається варіант-частотами варіантів.(f1,f1,…,f_k)

Відносна частота –відношення частоти до загальної кількості елементів вибірки W_i=k_i/n; i=1,2,…,k

7. Поняття варіанта. Як обчислюються й що означають накопичена частота та накопичена відносна частота варіанта?

Різні значення ознаки що спостерігається у елементів сукупності називаються варіантами, числа які показують скільки разів зустрічається варіант-частотами варіантів.

Накопичена частота варіанта показує скільки елементів вибірки мають значення ознаки менше або рівне значенню цього варіанту.

f_j^c=f1+f2+…+f_j

Накопичена відносна частота варіанта W^c_j=W1+W2+…+W_j

8. Назвіть способи графічного зображення варіаційних рядів.

Полигон частот-ломаная ,отрезки которой соединяют точки (x1,n1) , (x2,n2),…,(xk,nk), где xi-варианты выборки ni – соответствующие им частоты.

Полигоном относительных частот называвют ломаную , отрезки которой соеиняют точки (x1;w1), (x2;w2),…,(xk;wk), где xi-варианты выборки и wi- соответствующие им относительные частоты.

При непрерывном распределении признака весь интервал, в котом заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят ni-сумму частот вариант, попавших в i-й вариант. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру , состоящую из прямоугольников , основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению ni/hi(плотность частоты). Площадь частичного i-ого прямоугольника равна h(ni/h)=ni- сумме частот вариант , попавших в i–й интервал.Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот , т.е. обьему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению wi/h(плотность относительной частоты). Площадь частичного i-го прямоугольника равна h(wi/h)=wi- относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. еденице.