Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет им. М.Т.Калашникова»
Факультет «Математика и естественные науки»
Кафедра «Физика и оптотехника»
Отчет по лабораторной работе №1
«Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника»
Выполнил
студент гр. Б02-731-1 _____________________ Д.М. Бузанов
число, подпись
Проверил
ст. преподаватель каф. «МиЕН» _____________________ А.С. Перминов
число, подпись
Ижевск
2012
Отчет по лабораторной работе № 1
«Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника»
Цель работы:
изучить законы колебания математического маятника;
научиться производить прямые и косвенные измерения;
научиться производить расчеты погрешностей при проведении прямых и косвенных измерений;
измерить ускорение свободного падения (на широте г. Ижевска).
Краткое изложение теоретических предпосылок для проведения работы.
Ускорение свободного падения тел можно измерить несколькими методами, в частности, с помощью математического маятника. Метод математического маятника является одним из наиболее простых и точных методов измерения ускорения свободного падения тел вблизи поверхности Земли.
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ. Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
Рисунок 1. Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге.
Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а sin x/l. Только в случае малых колебаний, когда приближенно sinx/l можно заменить на x/l математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические колебания. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника. Следовательно,
Приборы и принадлежности:
Приборы:
линейка цена деления 1,0 мм;
секундомер цена деления 0,1 сек.
Принадлежности:
Схема экспериментальной установки приведена на рисунке 1
Рисунок 2 – Экспериментальная установка для определения ускорения свободного падения с помощью математического маятника
1 – массивное основание;
2 – стойка;
3 – подвес (нитка считается абсолютно нерастяжимой и невесомой);
4 – груз математического маятника;
L – длина подвеса.
Расчетные формулы и соотношения
Прямые измерения.
Прямыми измерениями называются измерения, проводимые прямым методом, при котором искомое значение физической величины получают путем сравнения этой величины с ее единицей.
Среднее значение измеряемой величины X производится по формуле:
(1),
где – измеренное значение величины (непосредственно измеренное тем или иным измерительным прибором);
i – номер измерения;
n – число непосредственных измерений в проводимом эксперименте.
Случайная ошибка измеряемой величины (при прямых измерениях) определяется по формуле:
(2),
где – коэффициент Стьюдента для числа измерений равных n и уровне доверительной вероятности P=95% (берется из таблиц для соответствующих n и P).
Приборная ошибка при прямых измерениях определяется по формуле:
(3),
где – коэффициент Стьюдента для бесконечного числа измерений и уровне доверительной вероятности P=95% (берется из таблиц для соответствующих n и P),
f – цена деления измерительного прибора
Полная ошибка при измерениях (прямых) определяется по формуле:
(4),
Если какая-либо из ошибок превосходит другую в 10 и более раз, то при определении полной ошибки по формуле (4) меньшей ошибкой можно пренебречь.
Результат прямого измерения представляется в виде:
Величина (длина подвеса) равна
(5),
при доверительной вероятности 95%
Косвенные измерения
Косвенное измерение - определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.
В настоящей лабораторной работе проведены косвенные измерения следующих величин:
период колебаний математического маятника ;
ускорение свободного падения .
Измерение периода колебаний математического маятника (косвенные измерения) проводится по формуле:
(6),
где – время полных колебаний математического маятника;
– число полных колебаний математического маятника.
Определение погрешности (ошибки) измерения периода колебаний математического маятника (косвенные измерения) проводится по формуле:
(7).
Результат измерения представляется в виде:
период колебаний математического маятника равен:
при доверительной вероятности 95%.
Определение (измерение) ускорения свободного падения в поле тяжести Земли (косвенное измерение) проводится по формуле
(8),
где – результат прямого измерения длины подвеса математического маятника,
– период свободных колебаний математического маятника (результат косвенного измерения),
Определение ошибки измерения ускорения свободного падения (косвенное измерение) проводится по формуле:
(9).
Результат измерения представляется в виде:
ускорения свободного падения равно:
при доверительной вероятности 95%
Выполнение работы
Этап 1: измерение длины подвеса математического маятника (прямое измерение)
Линейкой измерили длину маятника (от точки подвеса до центра шарика). В ходе выполнения данного этапа было проведено 5 измерений длины подвеса математического маятника . Результаты представлены во 2 графе таблицы 1.
Таблица – 1
Номер измерения |
|
|
|
1 |
498 |
2,2 |
4,84 |
2 |
500 |
0,2 |
0,04 |
3 |
500 |
0,2 |
0,04 |
4 |
501 |
- 0,8 |
0,64 |
5 |
502 |
- 1,8 |
3,24 |
500,2 (мм)
|
|
= 8,8
|
Среднее значение длины подвеса математического маятника определялось по формуле (1):
500,2 (мм)
Случайная ошибка измерения длины подвеса математического маятника определялась по формуле (2):
где =2,8
Приборная ошибка при измерениях определяется по формуле (3):
(мм)
где =2,0
f = 1,0 мм
Полная ошибка при измерении определялась по формуле (3):
Таким образом, полученный результат:
-
L = 500,2 + 1,9 (мм)
Этап 2: определение времени 20-ти полных колебаний математического маятника t (прямое измерение)
Отклонив маятник от положения равновесия на 5 градусов, предоставили ему возможность свободно колебаться.
Измеряем растояние Х, на которое нужно отодвинуть маятник.
sin α = x/500,2
x = 500,2 ∙ sin α
α = 5
sin α = 0,0872
x = 500,2 ∙ 0,0872
x = 43,6 (мм)
В момент наибольшего отклонения маятника пускают в ход секундомер и отсчитывают время , в течение которого маятник совершает N=20 полных колебаний. В ходе выполнения данного этапа было проведено 5 отсчетов времени 20-ти полных колебаний Результаты представлены в графе 2 таблицы 2.
Таблица 2.
Номер измерения |
|
(с) |
( ) (с) |
||
1 |
27,89 |
0,21 |
0,044 |
||
2 |
28,02 |
0,08 |
0,006 |
||
3 |
28,07 |
0,03 |
0,001 |
||
4 |
28,17 |
-0,07 |
0,005 |
||
5 |
28,33 |
-0,23 |
0,053 |
||
28,096 ≈ 28,1(с) |
|
= 0,109 ≈ 0,1 |
Среднее значение времени 20-ти полных колебаний математического маятника <t> определялось по формуле (1):
(с)
Случайная ошибка измерения времени 20-ти полных колебаний математического маятника определялась по формуле (2):
(с)
где =2,8
Приборная ошибка при измерениях определяется по формуле (3):
(с)
где =2,0
f = 0,1 сек
Полная ошибка при измерении определялась по формуле (4):
(с)
Таким образом, полученный результат:
28,1 ± 0,2 (с)
|
Этап 3: определение периода колебаний T математического маятника (косвенное измерение)
Период колебаний математического маятника определялся по формуле (6):
= (с)
Определение погрешности (ошибки) измерения периода колебаний математического маятника (косвенные измерения) проводится по формуле (7):
(с)
Таким образом, полученный результат:
Т=1,41±0,01 (с) |
Этап 4: определение ускорения свободного падения в поле сил тяжести Земли на широте г. Ижевска (косвенное измерение)
Измерение ускорения свободного падения в поле тяжести Земли (косвенное измерение) проводится по формуле (8):
Определение ошибки измерения ускорения свободного падения (косвенное измерение) проводится по формуле (9):
Таким образом полученный результат:
-
g=9,9±0,1 (м/с²)
Подведение итогов выполнения лабораторной работы
В результате проведения лабораторной работы были:
Изучены законы колебательного движения математического маятника:
Проведены измерения (прямые) длины подвеса математического маятника, времени 20-ти полных колебаний математического маятника.
Проведены измерения (косвенные) периода колебания математического маятника, ускорения свободного падения на широте г.Ижевска.
Полученное значение ускорения свободного падения составило:
g=9,9±0,1 (м/с²)
g = 978,049 ∙ (1+0,005288 ∙ sin φ – 0,000006 ∙ sin2 2φ) – 0,0003086 П ,
(см/с2)
где φ – широта места;
П – высота над уровнем моря
(Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров, ред. кол. Д.М. Алексеев, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др. – М.: Сов. энциклопедия, 1984. – 944 с.)
Для г. Ижевска φ = 150 м , П = 57о
g = 978,049 ∙ (1+0,005288 ∙ 0,838671 – 0,000006 ∙ 0,834565) – 0,0003086 ∙ 150 = 981,961 – 0,463 = 981,498(см/с2) ≈ 9,815 (м/с2)