32. Интеграл Кирхгоффа

КИРХГОФА ФОРМУЛА. Кирхгофа интеграл,- формула

которая выражает значение и( х, t )решения неоднородного волнового уравнения

в любой точке х=( х 1, х 2, x3 )ОWв момент времени tчерез запаздывающий объемный потенциал

с плотностью f и через значения функции и( у, t )и ее производных 1-го порядка на границе а области W. в момент времени t=t-r. Здесь W - ограниченная область трехмерного евклидова пространства с кусочно гладкой границей s, п- внешняя нормаль к s, r=|х- у|- расстояние между точками хи у. Пусть

где

Интегралы v1(x, t )и v2(x, t )наз. запаздывающими потенциалами простого и двойного слоев.

К. ф. (1) означает, что любое дважды непрерывно дифференцируемое решение и( х, t )уравнения (2) представляется в виде суммы запаздывающих потенциалов простого слоя, двойного слоя и объемного потенциала:

В случае, когда и( х, t)=u(x), f(x, t)=f(x)не зависят от t, К. ф. принимает вид

и дает решение уравнения Пуассона Du=-f(x).

К. ф. широко применяется при решении целого ряда задач. Например, если W.- шар радиуса tс центром в точке х, то формула (1) преобразуется в соотношение

где - среднее значение функции j(х). по поверхности сферы |у-x|=t,

Если j(x) и y(x) - заданные в шаре функции, имеющие непрерывные частные производные 3-го и 2-го порядков соответственно, a f{x, t )дважды непрерывно дифференцируема при |x|<R, то функция и( х, t), заданная формулой (3), является регулярным решением Коши задачи(4) для уравнения (2) при |x|<R и t<R -|x|. Формула (3) также наз. К. ф.

К. ф. в виде

для волнового уравнения

примечательна тем, что из нее следует Гюйгенса принцип:решение (волна) и( х, t )уравнения (5) в точке ( х, t )пространства независимых переменных х 1, х 2, х 3, t вполне определяется значениями j, дj/дп и y на сфере |у-x|= t с центром в точке хи радиуса |t|. Пусть дано уравнение нормально гиперболического типа

с достаточно гладкими в нек-рой (т+1)-мерной области Wm+1 коэффициентами aij(x), bj (х), с (х)и правой частью f(x), т. е. уравнение, форма к-рого в любой точке xОWm+1 с помощью невырожденного линейного преобразования приводится к виду

К. ф. обобщена на уравнение (6) в случае, когда число m+1 независимых переменных х 1, ..., х т+1 четно [4]. При этом существенным моментом было построение функции j, обобщающей на случай уравнения (6) ньютоновский потенциал 1/r. Для частного случая уравнения (6)

обобщенная К. ф. принимает вид

где у - некоторое положительное число, а - кусочно гладкая граница m-мерной ограниченной области Wm, содержащей внутри себя точку у, п- внешняя нормаль к а;

[y] означает запаздывающее значение y( х, t):

Формулу (8) дляуравнения (6) иногда наз. формулой Кирхгофа - Соболева.

52. Электрическое поле постоянного тока

Электрический ток. Закон Ома

Если изолированный проводник поместить в электрическое поле то на свободные заряды q в проводнике будет действовать сила В результате в проводнике возникает кратковременное перемещение свободных зарядов. Этот процесс закончится тогда, когда собственное электрическое поле зарядов, возникших на поверхности проводника, скомпенсирует полностью внешнее поле. Результирующее электростатическое поле внутри проводника будет равно нулю (см. § 1.5).

Однако, в проводниках при определенных условиях может возникнуть непрерывное упорядоченное движение свободных носителей электрического заряда. Такое движение называется электрическим током. За направление электрического тока принято направление движения положительных свободных зарядов. Для существования электрического тока в проводнике необходимо создать в нем электрическое поле.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I – скалярная физическая величина, равная отношению заряда Δq, переносимого через поперечное сечение проводника (рис. 1.8.1) за интервал времени Δt, к этому интервалу времени:

Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такой ток называется постоянным.

Рисунок 1.8.1.

Упорядоченное движение электронов в металлическом проводнике и ток I. S – площадь поперечного сечения проводника, – электрическое поле