8.2. Понятие вектора.
Некоторые физические величины (например: температура, масса, объём, длина) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единицы измерения. Такие величины называются скалярными. Другие величины (например: сила, скорость, ускорение) характеризуются не только числом, но и направлением. Эти величины называются векторными. Для описания таких величин в математике введено понятие «вектор».
Определение.
Любая упорядоченная пара точек А и В
пространства определяет направленный
отрезок,
т.е. отрезок с заданными на нём направлением.
Направленный отрезок называется
вектором.
На рисунке направление вектора обычно
изображают стрелкой. Если в упорядоченной
паре точка А первая, то её называют
началом
вектором, а
точку В ─ концом
вектора, в
этом случае вектор обозначается
.
Иногда векторы обозначают малыми буквами
,
и т.д.
Модулем
вектора
называется его длина. Обозначают модуль
или
.
Нуль-вектор
(или
нулевой
вектор) ─
это вектор, начало и конец которого
совпадают; обозначается он
.
Модуль нуль-вектора равен нулю, а
направление не определено. Единичным
называется
вектор, длина которого равна единице.
Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно (рис.8.2).
Векторы и называются равными (обозначается = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные модули.
Векторы и называются противоположными (обозначается = − ), если они коллинеарны, противоположно направлены и имеют равные модули.
Три
вектора
,
,
называются компланарными,
если они
лежат в одной плоскости.
8.3. Линейные операции над векторами.
К линейным операциям над векторами относятся: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.
1. Определение. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец ─ с концом вектора , если вектор отложен из конца вектора (рис.8.3). Обозначается: = + .
С
уммой
векторов
называется
вектор, начало которого совпадает с
началом вектора
,
а конец ─ с концом вектора
,
если каждый последующий вектор
отложен из конца предыдущего
для
= 1,2,…,n-1.
Свойства суммы векторов:
1. Свойство коммутативности: + = + (рис.8.4).
2. Свойство ассоциативности: ( + ) + = + ( + ) (рис.8.5).
3. + = . 4. + (− ) = .
2.Определение. Разностью двух векторов и (обозначается: − ) называется такой вектор , который в сумме с вектором даёт вектор , т.е. = − , если + = (рис.8.6).
Нетрудно
заметить, что
=
−
=
+ (−
).
3. Определение. Произведение вектора ≠ 0 на число α ≠ 0 называется вектор (обозначается = α), удовлетворяющий следующим условиям:
а)
;
б) векторы и коллинеарны;
в) векторы и одинаково направлены при α>0 и противоположно направлены при α<0.
Свойства произведения вектора на число.
1).
;
2).
;
3).
;
4). Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда = α для некоторого α.