) Основные понятия финансовой математики

Проценты – доход от предоставления капитала в долг.

Обозначение - .

Процентная ставка – величина, которая характеризует интенсивность начисления процентов.

Первоначальная сумма – исходная, инвестированная сумма.

Обозначение - .

Наращенная сумма – первоначальная сумма в совокупности с начисленными процентами.

Понятно, что .

Коэффициент наращения – показывает, во сколько раз возросла первоначальная сумма, т.е.

.

Период начисления – промежуток времени (весь), за который начисляются проценты.

Интервал начисления – минимальный промежуток времени, по прошествии которого начисляются проценты.

_________________________

Пример. Первоначальная сумма может быть инвестирована на два года (период начисления), а проценты будут начисляться каждый месяц (интервал начисления).

_________________________

Существуют два способа начисления процентов.

Декурсивный способ – проценты начисляются в конце каждого интервала начисления.

Декурсивная процентная ставка называется ссудным процентом.

Антисипативный (предварительный) способ – проценты начисляются в начале каждого интервала начисления.

Антисипативная процентная ставка называется учётной ставкой.

Сами проценты бывают двух видов: простые и сложные.

Простые проценты – проценты, которые применяются к первоначальной сумме в течение всего периода начисления.

Сложные проценты – проценты, которые применяются к текущей наращенной сумме в каждом интервале начисления.

Лекция 2. Простые ставки ссудных процентов

1). Простые ставки ссудных процентов

Пусть: - первоначальная сумма; - наращенная сумма; - процентная ставка за интервал начисления, проценты - простые.

Пусть прошёл интервал начисления , тогда наращенная сумма за этот промежуток времени равна

.

Пусть прошёл ёще один интервал времени , т.е.

.

Аналогично вычисляется наращенная сумма за весь период начисления

или окончательно

. (1)

_________________________

Пример. Первоначальная сумма, равная рублей, помещена в банк на года под годовых (проценты – простые). Найти наращенную сумму.

Решение. По формуле (1) находим

,

где проценты нужно выразить в виде десятичной дроби (!), ибо в виде десятичной дроби происходят вычисления,

.

Поэтому

(рублей).

_________________________

На формулу (1) можно смотреть как на связь между четырьмя параметрами : если неизвестен один из этих параметров, то его можно найти через остальные.

а) Найти период начисления (в годах), если известны: , первоначальная сумма; , наращенная сумма; - процентная ставка за год (проценты - простые)

Из формулы (1) найдём

.

Поэтому период начисления равен

. (2)

_________________________

Пример. Первоначальная сумма, равная рублей, помещена в банк под годовых (проценты – простые). Наращенная сумма оказалась равной рублей. Найти период начисления.

Решение. Выразим в виде десятичной дроби указанные проценты

.

Поэтому по только что найденной формуле

(года).

б) Найти простую процентную ставку , зная первоначальную сумму , наращенную сумму и период начисления (в годах)

Из недавно полученной формулы (2), умножая левую и правую части этого равенства на и деля на , получим

.

_________________________

Пример. Первоначальная сумма, равная рублей, была помещена в банк. Наращенная сумма оказалась равной рублей, период начисления был - полгода. Найти простую процентную ставку.

Решение. Понятно, что , , . Поэтому из только что найденной формулы получим

или в процентах

(годовых).

Сложные ставки ссудных процентов

Пусть: - первоначальная сумма; - наращенная сумма; - годовая процентная ставка ссудных процентов, проценты - сложные. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления к величине наращенной суммы, которая была в начале этого интервала начисления.

Итак, пусть прошёл первый год с момента открытия вклада. Тогда наращенная сумма за первый год хранения вклада равна

.

При прошествии второго года хранения вклада наращенная сумма будет иметь вид

.

Аналогично, сразу после -ого года хранения вклада наращенная сумма будет иметь вид

.

Окончательно

. (4)

_________________________

Пример. Первоначальная сумма, равная рублей, помещена в банк на года под годовых (проценты – сложные). Найти наращенную сумму.

Решение. По формуле (4) (в ней )

(рубля).

_________________________

Используя формулу (1), можно находить, зная 3 параметра, любой другой.

а) Найти период начисления (в годах), если известны: , первоначальная сумма; , наращенная сумма; - процентная ставка за год (проценты - сложные)

Из формулы (4) найдём

.

Найдём логарифм по основанию « »

.

По свойству логарифма

.

Поэтому окончательно получим

.

_________________________

Пример. Первоначальная сумма, равная рублей, помещена в банк под годовых (проценты – сложные). Наращенная сумма оказалась равной рублей. Найти период начисления.

Решение. По только что найденной формуле ( )

(года).

б) Найти сложную годовую процентную ставку , зная первоначальную сумму , наращенную сумму и период начисления (в годах)

Из формулы (4) находим

,

откуда сложную годовую процентную ставку имеет вид

.

_________________________

Пример. Первоначальная сумма, равная рублей, была помещена в банк. Наращенная сумма оказалась равной рублей, период начисления был – 3 года. Найти сложную годовую процентную ставку.

Решение. Понятно, что , , . Поэтому из только что найденной формулы получим

.

Иными словами, годовых.