4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера численного интегрирования обыкновенных дифферинциальных уравнений. Для приближенного решения дифференциального уравнения с начальным условием  Расчетная формула

Пример1 Для уравнения  при начальном условии  с шагом h = 0,1 значение  с точностью до сотых равно … Решение: Найдем значения: Тогда получим:

Пример. На отрезке 0;0,5 вычислить с шагом h=0,1 интеграл уравнения y^’=x+y, если y(0)=1.

xi	yi	y’=xi+yi	hf(xi,yi)=hy’
0	1	1	0,1
0,1	1,1	1,2	0,12
0,2	1,22	1,42	0,142
0,3	1,362	1,662	0,1662
0,4	1,5282	1,9282	0,19282
0,5	1,72102

• Тогда для уравнения  при начальном условии  с шагом h = 0,1 значение  с точностью до сотых  равно …

• для уравнения  при начальном условии  с шагом  и с точностью до сотых  равно …1,22

• для уравнения  при начальном условии  с шагом  и точностью до сотых  равно …1,23

Для приближенного вычисления определенного интеграла от функции можно воспользоваться  формулой трапеций и вычислили пример2  Интервал  разбили на 4 равные части … Решение: Отрезок  разбит на 4 равные части, с шагом Получили: соответствующие приближенные значения .: .,т.е. По формуле трапеций имеем:

• Для приближенного вычисления определенного интеграла от функции  на интервале  можно воспользоваться формулой трапеций Интервал  разбили на 4 равные части и вычислили соответствующие приближенные значения функции . , тогда  …0,23

• Для приближенного вычисления определенного интеграла от функции  на интервале  можно воспользоваться формулой трапеций. Интервал  разбили на 4 равные части и вычислили соответствующие приближенные значения функции . ,тогда  … 0,71

• Для приближенного вычисления определенного интеграла от функции  на интервале  можно воспользоваться формулой трапеций Интервал  разбили на 4 равные части и вычислили соответствующие приближенные значения : Тогда  …0,30

6. Численное дифференцирование.

Интерполяционные формулы

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа

Функция может быть интерполирована на отрезке интерполяционным многочленом , записанным в форме Лагранжа:

Интерполяционная формула Ньютона

Если точки расположены на равных расстояниях , многочлен можно записать так:

(здесь , а  — разности k-го порядка: ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений , близких к . Если требуется найти значение производной данной функции в некоторой точке, то можно заменить данную, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией  для которой  и найти производную функции Если шаг таблицы h (разность между соседними значениями x) является величиной постоянной, то можно воспользоваться формулой

Пример1.Некоторая функция  задана в виде таблицы Найдите  …

Решение: Напоминаем, что , где . Тогда . ; . .

Пример2 Некоторая функция  задана в виде таблицы Для заданной в виде таблицы функции  значение  … Вычисления производите с двумя знаками после запятой. Решение: Напоминаем, что  где Тогда

• Некоторая функция  задана в виде таблицы где  и  Вычисления производите с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции  значение  …0,76

• Некоторая функция  задана в виде таблицы Для заданной в виде таблицы функции  значение  …0,56

• Некоторая функция  задана в виде таблицы Для заданной в виде таблицы функции  значение  …2,58

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «Основные численные методы»

1. Если число 2,5 округлить до 3, тогда относительная погрешность полученного приближенного числа будет равна:

1) 0,5 2) 0,2 (и) 3) -0,2 4) -0,5

2. Вычислили значение функции  при  и  получили результат равный 800. Известны относительные погрешности чисел 10 и 2:  Тогда относительная погрешность полученного результата равна …

1) 0,01 2) 0,06 3) 0.05 (и) 4) 0,02

3. Абсолютная погрешность округления с избытком числа 1,8 до целых равна:

1) -0,2 2) 0,1 3) 0 4) 0,2 (И)

4. Приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле прямоугольников

Где , , равно:

1) 5 2) 10 (и) 3) 15 4) 12,5

5. По таблице функции составлена таблица конечных разностей:

Тогда приближённое значение производной функции где , в точке , равно:

1) 2 (и) 2) 3 3) 1 4) 4

6. . Некоторая функция  задана в виде таблицы Если требуется найти значение производной данной функции в некоторой точке, то можно заменить данную, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией  для которой  и найти производную функции Если шаг таблицы h (разность между соседними значениями x) является величиной постоянной, то можно воспользоваться формулой где  и  Вычисления производите с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции  значение  …

1) –1,22 2) 0,52 3) 0,60 4) 0,68 (и)

7. Если последовательные значения функции, являющейся решением задачи Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями , , находятся по методу Эйлера , то , определяемое уравнением , при и шаге , равно:

1) 2 2) 1,1 (и) 3) 1,2 4) 1,3

8. Конечная разность первого порядка функции при начальном значении и шаге равна:

1) 1 2) 2 (и) 3) 3 4) -2

9. Первое приближение к значению корня уравнения , расположенного на отрезке , полученное методом хорд по формуле , где а и b –концы отрезка , равно:

1) 0,5 2) 0,2 (и) 3) -0,2 4) 0,25

10. Приближенное значение интеграла , вычисленное по формуле прямоугольников , где , , , , равно:

1) 24 2) 22,5 3) 27 4) 20 (И)

11. Приближенное значение функции , вычисленное с помощью дифференциала, при равно:

1) 3,2 2) 0,02 3) 2,98 4) 3,02 (И)

12. Если последовательные значения функции, определяемой дифференциальным уравнением , находятся по методу Эйлера , то , определяемое уравнением , при , и шаге , равно:

1) 6 2) 1,! 3) 5 4) 1,5 (И)

13. Вычислили значение функции  при  и  получили результат равный 5. Известны относительные погрешности чисел 10 и 20: Тогда относительная погрешность полученного результата равна …

1) 0,04 (и) 2)0,03 3) 0,02 4) 0,01

14.Некоторая функция  задана в виде таблицы Если требуется найти значение производной данной функции в некоторой точке, то можно заменить данную, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией , для которой  и найти производную функции Если шаг таблицы h (разность между соседними значениями x) является величиной постоянной, то можно воспользоваться формулой   где  и  Вычисления производите с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции  значение  …

1) -0,36 2)0,64 3) 0,70 4) 0,76 (и)

14. Воспользоваться методом Эйлера: . Тогда для уравнения  при начальном условии  с шагом h = 0,1 значение  с точностью до сотых равно …

1) 2,90 2) 3,00 (и) 3) 2,40 4) 1,26

15. Для приближенного вычисления определенного интеграла от функции  на интервале  можно воспользоваться  формулой трапеций Интервал  разбили на 4 равные части и вычислили соответствующие приближенные значения . Тогда  …

1) 1,86 2) 0,18 3) 2,08 4) 0,74 (и)

16. При вычислении значения выражения  данные в условии задачи значения  и  округлили до целых и получили:  Тогда абсолютная погрешность полученного результата равна …

1) 1 (и) 2) 0.3 3) 0,2 4) 0,8

17. Для некоторой функции  известна таблица ее значений . Тогда конечная разность  равна …

1) 0,2 (и) 2)-0,2 3) -0,4 4) 0

18. Для приближенного решения дифференциального уравнения  с начальным условием  можно воспользоваться методом Эйлера: . Тогда для уравнения  при начальном условии  с шагом  и точностью до десятых  равно …

1) 2,80 2) 1,60 3) 4,85 4) 3,61 (и)

19. Известно, что ребра прямоугольного параллелепипеда равны 103 см, 21 см и 98 см. Для упрощения вычислений эти числа округлили до 100 см, 20 см и 100 см соответственно. Нашли объем:  (куб. см.) Полученный результат имеет относительную погрешность, равную …

1) 0,01 2) 0,02 3) 0,1 (и) 4) 0,5

20. Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке  можно использовать формулу  где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения  равно …

1) 2) (и) 3) 4)

21. Для вычисления объема куба было измерено линейкой его ребро. Оно оказалось равным 10 см. Известно, что погрешность измерения линейкой равна 0,5 см. Объем куба будет . Тогда относительная погрешность полученного результата равна …

1) 0,01 2) 0,03 3)0,05 4) 0,15 (и)

22. Для приближенного решения дифференциального уравнения с начальным условием  можно воспользоваться методом Эйлера: . Тогда для уравнения  при начальном условии  с шагом h = 0,1 и точностью до десятых  равно …

1) 2,19 2) -2,54 3) 2,40 (и) 4) -2,80

23. Некоторая функция  задана в виде таблицы Если требуется найти значение производной данной функции в некоторой точке то можно заменить данную, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией  для которой  и найти производную функции Если шаг таблицы h (разность между соседними значениями x) является величиной постоянной, то можно воспользоваться формулой , где  и . Вычисления производите с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции  значение  …

1) -2,22 2) 0,44 (и) 3) 0,76 4) 3.40

24. Для приближенного вычисления определенного интеграла от функции  на интервале  можно воспользоваться формулой трапеций  Интервал  разбили на 4 равные части и вычислили соответствующие приближенные значения функции . Получили: , тогда  …

1. 0,23 (и) 2) 0,92 3) 0,02 4) 1,04