Теорема.

Если 1) существует двойной предел (конечный или нет) A=lim(x→x₀, y→y₀)f(x,y) 2) при любом y из Y существует конечный простой предел по x φ(y)=lim(x→x₀)f(x,y) то существует повторный предел lim(y→0)φ(y)=lim(y→y₀)lim(x→x₀)f(x,y)=lim(x→x₀, y→y₀)f(x,y)=A.

открытый прямоугольный паралепипед и обозначим (a₁,b₁; a₂,b₂;…; a_n,b_n) в отличии от открытого предыдущего называется замкнутым. Разности b₁-a₁, b₂-a₂,…, b_n-a_n, называется измерениями этих паралепипедов. Точку ((a₁+b₁)/2, (a₂+b₂)/2,…, (a_n+b_n)/2) называют центром. Окрестности M₀(x₁^o, x₂^o,…, x_n^o) называется любой открытый паралепипед с центром в точке M₀, чаще всего это куб. (x₁^o-δ, x₁^o+δ; x₂^o-δ, x₂^o+δ;…; x_n^o-δ, x_n^o+δ;) открытый n-мерный куб δ>0, любые измерения между собой равны. 2) Рассмотрим множество точек M(x₁, x₂,…,x_n), x₁≥0, x₂≥0,…, x_n≥0, сумма любых координат ≤h x₁+…+x_n≤h, h>0. Если n=2 получаем равнобедренный прямоугольник, n=3 тетраэдр. В общем случае его называют симплекс. Закрытым если неравенство не строгие и открытым, если неравенство строгие. 3) Множество точек M(x₁, x₂,…,x_n), которые определяются неравенством замкнутое: (x₁-x₁^o)²+(x₂-x₂^o)²+…+(x_n-x_n^o)²≤r², открытое: (x₁-x₁^o)²+(x₂-x₂^o)²+…+(x_n-x_n^o)²<r², n-мерный шар(сфера), М₀ с координатами (x₁^o, x₂^o,…,x_n^o) постоянная точка, r – постоянное положительное число. Точка M₀ – центр. При n=2 получаем круг, n=3 сфера. Открытую сферу любого радиуса r>0 с центром в точке M₀ можно также рассмотреть как окрестность этой точки. Эта окрестность будет сферической в отличие от параллепипедальной.

D_n+1/(n+1)!*(x-x₀)ⁿ⁺¹ было справедливо для любого x в интервале из теоремы. Построим вспомогательную функцию F(t) вычтя из f(x) правую часть предыдущего равенства, в котором X₀=t: F(t)=f(x)-f(t)-f¹(t)/1!*(x-t)-…-(f(t))⁽ⁿ⁾/n!*(x-t)ⁿ- D_n+1/(n+1)!*(x-t)ⁿ⁺1. При t=x₀ F(t)обращается в 0, при t=x на концах интервала обращается в 0, тогда по теореме Ролля внутри этого интервала должна существовать т.ξє(x₀-h,x₀+h): f(ξ)’=0.Найдем производную: F’(t)=-f’(t)-f”(t)/1!*(x-t) +f’(t)-f”’(t)/2!*(x-t)²+f”(t)*(x-t)+…+f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/n!*(X-t)ⁿ+f⁽ⁿ⁾(t)/(n-1)!(x-t)^n-1-D_n+1/(n)!*(x-t)ⁿ; F’(t)= f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/n!*(X-t)ⁿ-D_n+1/(n)!*(x-t)ⁿ; (X-t)ⁿ/n!*(f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)-D_n+1)=0,(x-t)!=0=> D_n+1=f⁽ⁿ⁺¹⁾(t), t=ξ, ξ=x₀+θ(x-x₀)=> r_n(x)=(f(ξ))⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!*(x-x₀)ⁿ⁺¹.

Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд: (без док-ва)Если функция в окрестности т.x₀ имеет все производные, ограниченные в совокупности на этой окрестности, то функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности т.x₀.

Функции непрерывные в области.

Фунция f(x₁,…,x_n) непрерывна в некотором множестве D точек n-мерного пространства если она непрерывна в любой точке этого множества которое является для него точкой сгущения. Ограничимся для краткости случаем 2-ух переменной. Пересечение на общий случай производится непосредственно.

Теорема Больцмана-Коши.

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в некоторой связанной области D. Если в 2-х точках M₀(x₀,y₀) и M₁(x₁,y₁) этой области функция принимает значения разных знаков, то есть f(x₀,y₀)<0 а f(x₁,y₁)>0 то в этой области найдется точка M’(x’,y’) в которой функция обращается в ноль, то есть f(x’,y’)=0. Док-во: Построим на сведении к случаю одной переменной, так как область D связанная то точки M₀ и M₁ можно соединить ломанной, полностью лежащей в D. Если последовательно перебирать вершины ломанной то либо окажется, что какой-то из них функция обращается в ноль и тогда теорема доказана, либо этого не будет. Найдется такая сторона ломанной на концах которой функция принимает значения разных знаков, изменив обозначения точек будем считать, что М₀ и М₁ являются концами этой