9). Невизначенний ∫. Первісни та їх властивості.

Сукупність усіх первісних F(x)+c для функції f(x) наз. невизначеним інтегралом і записується - ∫f(x)dx=F(x)+c.

Функція F(x) наз. Первічною для функції f(x) якщо для всіх значень аргумента з даного інтервала справджується рівність F`(x)=f(x)

Основна вл. первісних:

Будь-яку первісну для функції f на проміжку I можна записати у вигляді F(x)+c, де F(x)–первісна від f(x), а С-деяке число.

Тобто для ф-ції f(x)існує безліч первісних - (F(x)+c) ці первісні утворюють сімейство первісних.

Вл. первісних.

1.Якщо F(x) та G(x) первісні для функцій f(x) та g(x) відповідно то функція F(x)+G(x) є первісною для функції f(x)+g(x), тобто: первісна від суми функцій = сумі первісних цих ф-цій.

2.Сталий множник зберігається при знаходжені первісної, тобто для ф-ції k*f(x) первісною є ф-ція k*F(x)+c.

3.Для функції f(kx+b) первісною є функція 1/k*F(kx+b)+c.

10.) Визн. ∫. Його власт.

Приріст F(b)-F(a) всіх первісних F(x)+c для ф-ції f(x) при змінній фргумента від x=a до x=b наз. Визначеним ∫

Позначається: bа ∫ f(x)dx=F(b)-F(a). (а-знизу. b-зверху)

Вл. ∫:

1.Інтеграл від суми ф-цій=сумі інтегралів від цих ф-цій.

2.Сталий множник можна винести за знак інтеграла.

3.Існує така точка С на відрізку а;b що bа ∫f(x)dx=f(c)(b-a).

4.Якщо ф-ція y=f(x) невід’ємна на відрізку а;b то ba ∫f(x)dx =>0.

5.(інтегрування нерівностей)

Якщо f(x)=>g(x) на відрізку a;b то ba ∫f(x)dx => ba ∫g(x) dx.

6.Інтеграл з однаковими множниками інтегрування = 0.

7.При перестановці меж інтегрування місцями знак інтеграла змінюється на протилежний.

8.Величина визначенного ∫ не залежить від позначення змінної інтегрування. ba ∫(x)dx = ba ∫f(t)dt = ba ∫f(z)dz

11). Інтегрування способом підстановки.

Цей метод використовується якщо під знаком інтеграла стоїть добуток, або частка двох ф-цій одна з яких є похідною від іншої, або похідною від її частини.

∫f(g(x))*g`(x)dx = │t = d(x) │

│dt = g`(x)dx │ = ∫f(t) *dt

│dx = dt/g`(x)│

За нову зміну t приймають таку ф-цію g(x) похідна від якої вже міститься під знаком ∫ тобто t = g(x).

12). Інтегрування по частинам.

Цей метод викор. якщо під знаком інтеграла стоїть добуток, або частка двох ф-цій не пов’язаних між собою.

∫ F(x)*g(x)dx

U dv

Тоді одну з ф-цій виражають через U, U=f(x) та диференціюють, тоді частину під інтегрального виразу що залишилась виражають через dv; dv=g(x)dx та інтегрують тобто U= ∫ g(x) dx=G(x).

Мета цього методу спростити початковий ∫ до табличного вигляду і іноді використовують цей метод двічі та більше разів.

13 Геометричний зміст схеми знаходження площ та обемів

В изначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

схема знаходження

1)Побудувати графікі вказаних ліній і заштрихувати фігуру

2)При неохідності вихначити межі інтегрунвння із рівняння f(x)=g(x)=>x1=a x2=b

3)в залежності від випадку підібрати необхідну формулу

4)обчислити визначений інтеграл

S = ∫f(x)dx = F(b)-F(a)

S = ∫ f(x) dx -∫g(x)d

S = -∫f(x)dx

S = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

S = ∫(f{x)-g(x))dx