Математические формулы и методы их применения / Линейная алгебра. Матрицы

элементы которой равны нулю ( aij = 0 ).

	a11	a12	L a1n
Определитель – D = det (Amn ) =	a21	a22	L a2n	- есть
	M	M	M M
	am1	am2	L amn

числовая характеристика матрицы (детерминант). Минор - Mij - минором элемента aij квадратной матри-

цы порядка n называется определитель (n -1) порядка,

который получается из определителя вычёркиванием итой ( i ) строки и житого ( j ) столбца.

Иногда обозначается как M строкистолбцы .

a11

a12

a13

Þ det(a23 )=

a11

a12

a

13

= M1,31,2 =

a11

a12

a21

a22

a23

a21

a22

a

23

= M23

a31

a32

a31

a32

a33

a31

a32

a

33

Алгебраическое дополнение - Aij - алгебраическим до-

полнением элемента aij называется произведение

Aij = (-1)i+ j ×M ij . Из чего следует, что алгебраическое до-

полнение элемента может отличаться от его минора лишь знаком.

	a11	a12	a13	2+3		a11	a12
D =	a21	a22	a23	Þ A23 = (-1)	×M23 Þ A23 = -	a31	a32
	a31	a32	a33

Линейная комбинация – Линейной комбинацией каких- либо математических объектов u1, u2 ,Kun , для которых

определены действия сложения, и умножения на число на-

зывается сумма произведений этих объектов на заданные числа. λ1u1 + λ2u2 +K+ λnun , где λ1 - заданное число.

Андрей Ивашов

- 6 -

ì3x1 + 4x2 + 2x3 = 8									æ3 4				2 ö			æ 8 ö
ï									ç					÷		ç	÷
í2x1 - 4x2 - 3x3 = -1 Þ A = ç2												- 4 - 3÷; B =				ç	-1÷	Þ
ïx + 5x			2	+ x = 0					ç1 5				1	÷		ç	0 ÷
î 1					3				è					ø		è	ø
Þ det(A)= D = 41 ;
		8		4	2						3	8	2					3	4	8
D1 =		-1		-4 -3			= 82; D2		=		2	-1	-3	= -41; D3 =				2	-4	-1		=123;
		0		5	1						1	0	1					1	5	0
Þ x = D1					= 2; x =			D2	= -1;				x =	D3	= 3 .
								D
1				D	2								3	D

Ответ получен.

10.Пример: Найти обратную матрицу по теореме Лапласа

	æ	1		2		0 ö
	ç	1		0		2	÷							det (A) = -1;
A = ç			2				÷;
	ç						÷
		2		1		7
	è						ø
	A11 = (			-1)	2				0							2															3						2	0
						M11		=	1							7				= -2;									A21 = (-1)				M21 = -				1	7				= -14;
	A12 = (				3										1 2							2					1		A22 = (-1)			4				1		0
				-1)		M12		= -								2 7									=		2 ;						M22 =			2 7				= 7;
		= (-1)4 M13									1 2									0		= 1							A23 = (-1)5								1 2					= 3;
	A13							=																			;						M23 = -
											2									1					2												2	1
	A31	= (-1)4 M31						=					2 0							= 4;
													0			2
	A32	= (-1)5 M32						= -								1						0				= -2;
																1 2						2
	A33	= (-1)6 M33						=						1						2			= -1;
														1 2						0
	æ	-2 1 2 1 2ö														~ T									æ -2 -14 4 ö								æ 2					14 -4ö
~	ç	-14 7						3	÷													=			ç				÷	; A	−1		ç	-1 2				-7 2					÷
A = ç														÷; A											ç1 2 7				-2÷				= ç										÷ .
	ç								÷																ç				÷				ç	-1 2				-3 1					÷
	è	4 -2 -1 ø																							è1 2 3				-1ø				è										ø
																															Ответ получен.
Андрей Ивашов																											- 27 -

k = rang ( A) и в столбцах матрицы A с номерами 1, 2,..., k располагается ненулевой минор порядка рав- ного рангу матрицы rang ( A) .

3.Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных ( rang ( A) = n ), то система имеет единст- венное решение.

4.Если ранг матрицы совместной системы меньше чис- ла переменных ( rang ( A) < n ), то система неопределён- ная и имеет бесконечное множество решений.

5.Всякую матрицу конечным числом элементарных преобразований над строками (столбцами) можно превратить в ступенчатую.

6.Если от матрицы A к матрице B можно перейти

конечным числом элементарных преобразований над

строками (столбцами), то от B к A также можно перейти конечным числом элементарных преобразо- ваний над строками (столбцами).

7.Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

8.Ранг ступенчатой матрицы равен числу её нулевых строк.

9.Если число уравнений однородной системы линейных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет хотя бы одно ненулевое решение.

10.Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, обладает решением и притом только одним.

Определители

Разложение по строке (столбцу)

Детерминант находится по рекуррентной формуле раз- ложения определителя по i -той строке ( j -тому столб-

цу). Удобнее выбирать строку (столбец) с наибольшим количеством нулей:

	a11	a12	L a1m
	a21	a22	L a2m	m	+ ai 2 Ai 2	+K+ aim Aim .
D =				= S aij Aij = ai1 Ai1
	M	M	M M	j =1
	am1 am2 L amm
Андрей Ивашов				- 8 -

4. Пример: Возвести матрицу в третью степень

æ

1

0

1ö

ç

0

1

0

÷

A = ç

÷;

ç

1

0

1

÷

è

ø

æ1 0 1

ö æ

1 0 1ö æ

2 0 2ö

A

2

=

ç

0 1 0

÷

ç

0 1 0

÷

ç

0 1 0

÷

;

A× A = ç

÷×

ç

÷

= ç

÷

ç

1 0 1

÷

ç

1 0 1

÷

ç

2 0 2

÷

è

ø è

ø è

ø

æ1 0 1ö

æ 2 0 2

ö æ 4 0 4

ö

3

=

A× A

2

=

ç

÷

×

ç

0 1 0

÷

ç

0 1 0

÷

A

ç

0 1 0÷

ç

÷ =

ç

÷ .

ç

÷

ç

2 0 2

÷

ç

4 0 4

÷

è

1 0 1ø

è

ø è

ø

Ответ получен.

5.Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса

ìx + 3x

- x

= 0

ï 1

2

3

ïí2x1 - x2 - 4x3 = 3 ;

î3x1 + 2x2 -5x3 = 3

æ1

3

-1 0ö

æ1 3 -1 0ö

æ1 3 -1 0 ö

A¢ =

ç

-1

- 4

÷

II −2I ç

- 7

- 2

÷

(−1)II ç

7

2

÷

ç2

3÷

~ ç0

3÷

~ ç0

- 3÷

ç

- 5

÷ III −3I ç

- 7

- 2

÷ III −II ç

÷

è3

2

3ø

è0

3ø

è0

0

0

0 ø

- бесконечно много решений (два главных неизвестных и одно свободное неизвестное);

ìïx1 = 17(9 +13x3 )

Þïíx2 = 17 (-3 - 2x3 ) . ïïx3 Î R

î

Ответ получен.

6.Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса

ìx + 3x	2	- x = 0
ï 1		3
ïí2x1 - x2 - 4x3 = 3 ;
î3x1 + 2x2 -5x3 = 6
Андрей Ивашов			- 25 -

Определитель первого порядка. Определитель первого порядка от произвольного элемента равен самому элемен- ту.

A = (a11 ) ; det(A) = a11 = a11 .

Определитель второго порядка вычисляется по сле-

дующей формуле:

çæ a11		a12		÷ö		det (A) =		a11	a12
A = ça	21	a	22	÷	;			a	a	22	= a11a22 - a12a21 .
è				ø				21

Определитель				третьего		порядка вычисляется по
следующей формуле:
çæ a11	a12	a13	÷ö		a11	a12		a13
A = ç a21	a22	a23	÷ ; det(A)=		a21	a22		a23	=
ç a	a	a	÷		a	a	32	a
è 31	32	33	ø		31			33

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 )- (a13 a22 a31 + a12 a21a33 + a11a23a32 ) .

Однако дабы не приходилось запоминать всю эту последо-

вательность слагаемых были созданы методы нахождения определителей третьего порядка, упрощённые для пони- мания и запоминания.

Правило Саррюса – первый из таких методов.

	a11	a12	a13		a11	a12	a13
(+)	a21	a22	a23	(-)	a21	a22	a23
	a31	a32	a33		a31	a32	a33

Все соединённые линией элементы перемножаются, обра- зуя набор слагаемых. Из слагаемых левого определителя вычитаются слагаемые правого. Получаемое в итоге число и есть искомый детерминант.

Метод диагоналей – второй.

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

-- - + + +

Дописываем два первых столбца определителя сразу за основной его частью, перемножаем все соединённые линией элементы, складываем все слагаемые, образованные парал- лельными главной диагонали линиями, и вычитаем ос- тальные.

Андрей Ивашов

- 10 -

Заключение

В качестве заключения хотелось бы рассказать о том, как полученные знания могут быть использованы на практи- ке.

Думаю, нет необходимости напоминать о том, что дан- ная информация пригодится при изучении линейной алгеб- ры (и не только: весь последующий курс высшей матема- тики, вплоть до математической физики, будет нераз- рывно связан с векторной алгеброй), поэтому перейдём сразу к практической реализации.

Компьютеры прочно вошли в нашу жизнь и ни для кого, наверное, уже давно не является секретом то, что в про- граммировании повсеместно используется математика. Однако мало кто знает, что создание пространственных

сцен в компьютерных играх и программах трёхмерного моделирования целиком построено на расчете уравнений векторной алгебры. Наиболее сильно это выражается во вращении трёхмерных объектов и моделировании объемно- го освещения.

Для простоты разберём сферическую систему координат. Вращение сцены производится в несколько шагов:

1.Вращение базиса в сферической системе координат.

2.Преобразование всех векторов нового базиса в декар- тову систему координат.

3.Составление матрицы перехода в новый базис.

4.Умножение векторов всех точек сцены на эту матри- цу.

5.Перерисовка сцены.

Не буду приводить здесь формул преобразования… всё же цель этой статьи в том, чтобы убедиться в “реальности” рассмотренного материала, а не его реализация.

Важно понимать, что линейная алгебра в купе с аналити-

ческой геометрией являют перед нами базовый комплект знаний, необходимый для будущего, углубленного, изучения

математики и последующего использования этих знаний по выбранной специальности.

Андрей Ивашов

- 23 -

Обратная матрица

Определение обратной матрицы стоит понимать также, как и определение любой обратной функции. Например,

	g(x) является	обратной			функцией к f (x) ,	если
	g−1(x) = f (x) , т.е	g(x) =	1		. Следует понимать,	что в
			f (x)

силу ряда свойств матриц в их нахождении есть опреде- лённые особенности. В будущем, умение находить обрат-

ные матрицы пригодиться для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Разберём основные методы получения обратной матрицы.

Теорема об условии существования

Для того, чтобы квадратная матрица A имела обрат- ную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель не равнялся нулю.

Теорема о единственности

Если квадратная матрица A имеет обратную A−1 , то она (обратная) единственная.

Метод нахождения обратной матрицы из матри- цы второго порядка

Данный способ применим лишь в случае, когда матрица является квадратичной. Он не требует знания никаких новых теорем и заключается в четырёх шагах:

a.Проверяем матрицу на невырожденность (по теореме об условии существования, определитель матрицы не может быть равен нулю) – находим определитель;

b.Меняем местами элементы, стоящие на главной диа- гонали исходной квадратичной матрицы;

c.Меняем знаки элементов стоящих на побочной диаго- нали исходной квадратичной матрицы;

d.Делим каждый элемент получившейся союзной транс-

понированной матрицы на определитель основной.

Пример: Найти обратную матрицу методом Крамера

æ 2			3	ö	; det A =				2	3		= -2 Þ
A = ç	4		5	÷					4	5
è				ø
~		5		-3			Þ A−1			- 5			2	3	2
AT =		-4			2				=	2						.
														-1
																	Ответ получен.
Андрей Ивашов														- 12			-

Базис

Хотя определение базиса и выходит за рамки нашей темы,

рассмотрим его ввиду тесной связи задач на действия над базисами с свойствами матриц.

Базисом линейного пространства называется упорядочен- ная система линейно независимых векторов этого про- странства. Векторы базиса линейного пространства на- зываются базисными векторами.

Задачи на базисы делятся на несколько типов. Разберём некоторые из них.

Нахождение матрицы оператора при смене базиса

Ae′ = P−1Ae P где

Ae - исходная матрица оператор; P - матрица перехода по базису; P−1 - обратная к матрице перехода; Ae′ - искомая матрица оператор.

В типовых задачах для нахождения искомой матрицы опе- ратора необходимо, для начала, самостоятельно соста- вить матрицу перехода (если она не дана в явном виде). Для этого составляем из векторов-столбцов нового базиса

матрицу перехода к этому базису P . Далее определяем

обратную к ней матрицу P−1 . Используем приведённую выше формулу, понимая, что переставлять местами её множители нельзя.

Пример: Найти матрицу оператора в базисе e¢ ,

если в базисе e матрицаимеет вид Ae
	ìe1¢ = e1 + e2 + 2e3		æ	2	0	-1ö
¢	ï ¢	= 2e1 -e2	ç	0	1 -2		÷
e : íe2			; Ae = ç				÷ .
	ï ¢	= -e1 + e2 + e3	ç	-1 2		0	÷
	îe3		è				ø

æ	1	2	-1ö			æ	1 2 -1ö
ç	1	-1 1		÷	Þ	ç	-1	-3	2	÷	;
P = ç				÷		P−1 = ç				÷
ç	2	0	1	÷		ç	-2	-4	3	÷
è				ø		è				ø

æ 1 2 -1ö æ 2

0

-1ö æ 1

2

-1ö

æ -7 6

-8ö

A

=

ç

-1 -3

2

÷×

ç

0

1 -2

÷×

ç

1

-1

1

÷

=

ç

11

-9

12

÷ .

e′

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

-2 -4

3

÷

ç

-1 2

0

÷

ç

2

0

1

÷

ç

15

-16

19

÷

è

ø è

ø è

ø

è

ø

Ответ получен.

Андрей Ивашов

- 21 -

Метод Гаусса

Метод Гаусса также использует определение обратной матрицы о том, что произведение обратной матрицы с основной коммутативно и равно единичной матрице.

A× A−1 = A−1 × A = E

При нахождении обратной матрицы методом Гаусса, не-

обходимо записать рядом с основной матрицей единичную (как показано ниже), а далее, элементарными преобразо-

ваниями над строками расширенной матрицы приводим её левую часть к виду единичной матрицы. Тогда около неё, справа, автоматически получится обратная.

Пример: Найти обратную матрицу методом Га- усса

æ 3

0

-5ö

ç

3

0

÷

Þ

A = ç1

÷

ç

2

1

÷

è0

ø

^

æ3 0 -5 1 0 0ö

æ3 0 -5 1 0 0ö

(−1)II

ç

÷ I −3II

ç

- 9 - 5 1 - 3 0

÷

A = ç1 3 0 0 1 0÷ ~

ç0

÷

~

ç

÷

ç

0 2 1 0 0 1

÷

è0 2 1 0 0 1ø

è

ø

æ 3 0 -5 1

0 0ö

æ3 0 -5 1

0

0 ö

(−1)II ç

÷II +5III ç

÷I +5III

~

ç0 9 5

-1 3 0÷

~

ç0 9 0 9

- 27 45 ÷

~

ç

÷ (−1)III ç

- 2

6

-9

÷

1

II

è0 0

-1 2 - 6 9ø

è0 0 1

ø 9

æ3 0 0 -9 30 -45ö 1 I æ1 0 0 -3 10 -15ö

I + 5III ç

÷

3

ç

÷

Þ

~

ç0 1 0 1 - 3 5 ÷

~ç0 1 0 1

- 3 5 ÷

1 II

ç

- 2

6 - 9

÷

ç

- 2 6

÷

9

è0 0 1

ø è0 0 1

- 9 ø

æ -3

10

-15ö

Þ

A−1 =

ç

- 3

÷

ç 1

5 ÷ .

ç

6

÷

è- 2

- 9 ø

Ответ получен.

При нахождении обратной матрицы методом Гаусса не надо предварительно убеждаться в невырожденности ос- новной матрицы, т.к. это получится автоматически. Если в левой части конечной матрицы получается единич- ная, то основная матрица является невырожденной и об- ратная ей существует. И наоборот.

Андрей Ивашов

- 14 -

в полученной матрице.

æ1		0	L 0ö
ç	0	1	L	0	÷
ç					÷
ç					÷
A ~ ç M		M	M	M	÷
ç	0	0	L	1	÷
ç					÷
ç M		M	M	M	÷
ç	0	0	L	0	÷
è					ø

Пример: Найти ранг матрицы методом Жордана - Гаусса

	æ 1 4 3 2 1ö										æ1 4 3 2					1 ö
	ç	0	1		-1		-2		2÷ III−2I		ç	0	1	-1	-2	2	÷ III −II
A = ç		2 9 5							÷	~	ç	0	1 -1 -2 2				÷		~
	ç					2 4÷ IV−2I					ç						÷ IV+II
	ç	2 7 7							÷		ç	0					÷
	è					6 0ø					è		-1 1 2 -2ø
	æ	1	4		3		2 1ö				æ	1	0	7 10 -7ö
	ç	0	1		-1		-	2	÷		ç	0	1	-1	- 2	2	÷	(*)
III − II ç									2÷ I −4II		ç						÷
~	ç	0	0		0				÷	~	ç	0	0	0 0		0	÷	~
IV + II ç							0 0÷				ç						÷
	ç	0	0		0				÷		ç	0	0	0 0		0	÷
	è						0 0ø				è						ø
æ1			0	0	0		0ö
(*) ç	0		1	0	0		0	÷	Þ	rang (A) = 2 .
~ ç	0		0	0	0		0	÷
ç								÷
ç	0		0	0	0		0	÷
è								ø

(*) – хотя, здесь уже видно, что ранг матрицы A равен двум (см. ниже) для доказательства этого проведём ещё некоторые действия со столбцами: (III+V); (IV+V); (V- 2III); (III-II); (3V+7IV); (IV-3I).

Ответ получен.

В принципе, задачу себе можно немного упростить и оста- новиться уже на той итерации, когда получается тре- угольная матрица. В этом случае говориться: ранг мат- рицы равен числу определённых неизвестных (в том смыс- ле, что они определены).

Андрей Ивашов

- 19 -

Метод Крамера

Решение систем линейных алгебраических уравнений по методу Крамера.

	x1 =	D1	;	x2	=	D2	;	K xn =	Dn	, при D = det(A)¹ 0 ;
		D				D			D

Пример: Решить систему уравнений методом Крамера

Найти все неизвестные системы методом Крамера.

ìx1 + x2 + x3 = 3		æ1 1 1 ö		æ3ö
ï	- x3 =1	ç	÷	ç	÷
íx1 + 2x2		Þ A = ç1 2	-1÷; B = ç1		÷	Þ D = -6	Þ
ï	- 2x3 = 2	ç	÷	ç	÷
î2x1 + x2		è2 1	- 2ø	è2	ø
Для того чтобы найти D1			необходимо первый столбец в
D = det(A) заменить на B			- матрицу столбец свободных

членов уравнения. При нахождении D2 нужно проделать ту же операцию, но уже со вторым столбцом исходного определителя. D3 находится соответственно.

Из формулы Крамера следует, что дополнительных опре- делителей придётся искать столько, сколько неизвестных в системе.

	3		1		1					1		3	1					1		1		3
D1 =	1		2		-1		= -12; D2		=	1		1	-1		= 0; D3	=		1		2		1		= -6;
	2		1		- 2					2		2	- 2					2		1		2
Þ x1		=		D1	=	-12		= 2; x2	=		D2	=	0	= 0; x3 =			D3		=		-6		=1 .
				D							D		- 6				D			- 6
							- 6

Ответ получен.

Метод Гаусса

Решение систем линейных алгебраических уравнений мето- дом последовательного исключения неизвестных.

Элементарные преобразования, применяемые по ме-

тоду Гаусса (преобразования, приводящие к равносильной системе уравнений):

a.Умножение обеих частей уравнения на число не равное нулю.

b.Прибавление к одному уравнению другого, умно- женного на любое число, не равное нулю.

c.Перестановка местами любых двух уравнений.

d.Отбрасывание нулевых строк.

Андрей Ивашов

- 16 -

Элементарные преобразования обратимы. Метод Гаусса состоит из двух этапов решения:

a.Прямой ход – с помощью элементарных преобразо- ваний из расширенной матрицы получить треуголь- ную матрицу, где над главной диагональю стоят все неизвестные системы, а под ней - нули.

b.Обратный ход – переход к равносильной системе

уравнений и выражение всех неизвестных системы, начиная с последнего.

Пример: Решить систему уравнений методом Га- усса

ìx + 3x

- x = 0

ï 1

2

3

= 3

ïí2x1 - x2

- 4x3

;

î- x1 + 2x2 + 2x3 = -3

Прямой ход:

æ 1 3 -1 0 ö

æ1 3 -1 0 ö

5II +7 III

A¢ =

ç

÷ II - 2I

ç

- 7

- 2 3

÷

ç 2

-1 - 4 3 ÷

~

ç0

÷

~

ç

÷

III

+ I

ç

÷

è-1 2

2 - 3ø

è0 5

1

- 3ø

æ

1 ö

æ1

3

-1 0 ö

ç

-

÷III æ1

3

-1

0

ö

5II + 7III ç

÷

è

3 ø

ç

-3

÷

~

ç0

- 7 - 2 3 ÷

~

ç0 7 2

÷ ;

ç

÷

(-1)II ç

÷

è0 0 - 3 - 6ø

è0 0 1

2

ø

Обратный ход:

ìx1 + 3x2

- x3 = 0

ìx1 = 5

ï

7x2

+ 2x3 = -3 Þ

ï

í

íx2 = -1 .

ï

x

= 2

ïx

= 2

î

3

î 3

Ответ получен.

Необходимо отметить, что во всех предыдущих методах

решения систем линейных алгебраических уравнений от нас требовалось узнать определитель основной матрицы, что не всегда удобно (если определитель больше третьего порядка). В методе Гаусса имеет место автоматическая проверка на невырожденность матрицы. Если система имеет хотя бы одно решение, то определитель не равен нулю, а если в системе решений нет – матрица вырожден- ная.

Андрей Ивашов

- 17 -