1.Случайные события. Действия над событиями.
Пусть в результате испытания единственно возможно появление n несовместных равновероятных событий E1, E2,…, En. Такие события будем называть элементарными.
Понятие равновероятности является неопределяемым в теории вероятностей и считается интуитивно ясным. Например, при подбрасывании монетки равновероятно выпадение любой стороны. Строгое понятие несовместности определим позже.
Несовместными будем считать события, появление которых исключает друг друга.
Множество
элементарных событий относительно
произведенного испытания называется
пространством
элементарных событий
и обозначается
(омега).
Случайным событием называется любое множество элементарных событий. Случайные события – это факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Теория вероятности пользуется языком теории множеств. События - это множества, а действия над событиями – действия над множествами. Ко всему пространству множества Ω элементарных событий добавляется еще и пустое множество Ø; это множество рассматривается тоже как событие, но невозможное.
Случайные события обозначаются большими латинскими буквами, а числа маленькими латинскими буквами.
Примеры: А – появление герба при подбрасывании монеты, В – появление четной цифры при подбрасывании игрального кубика и т.д.
Множества событий обозначаются греческими буквами.
Дадим определения действий над событиями.
1. Если при появлении события А происходит и событие B, то говорят, что событие А влечет за собой событие В
2.
Если А
B
и В
А,
то говорят, что события А и В равновозможны
и обозначают А=В.
3. Событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно из событий А или В называют суммой событий и обозначается А+В.
4. Событие, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно, называется произведением событий и обозначается А∙В.
5. Событие, состоящее в том, что А произойдет, а В не произойдет, называется разностью: А-В.
6.
Событие,
состоящее в том, что А не произойдет,
называется
противоположным
и
обозначается
.
7.
События А и Ā называются противоположными,
если их одновременное появление
невозможно и в сумме они дают пространство
элементарных событий
Ø,
.
8. . Событие называется невозможным, если оно не может произойти, и обозначается Ø.
9. События А и называются противоположными, если их одновременное появление невозможно и в сумме они дают пространство элементарных событий
Ø,
.
10. События А и В называются несовместными, если их одновременное появление невозможно
Ø.
11. События В1, ..., Вn образуют полную группу, если любые 2 из них одновременно появится не могут и в сумме они дают пространство элементарных событий.
Ø,
.
2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
Опыт, при котором имеют место равновозможные и исключающие друг друга исходы, получил название схемы случаев (или схемы урн). Здесь под вероятностью случаев А понимается число, равное отношению случаев, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу случаев
,
где m – число случаев, благоприятствующих событию А, n – общее число случаев.
В этом случае говорят о классическом определении вероятности.Формула классической вероятности позволяет решать ограниченное число задач:
1) число элементарных событий конечно,
2) все элементарные события равновозможные.
Теория вероятности пользуется языком теории множеств. События - это множества, а действия над событиями – действия над множествами.
Свойства классической вероятности:
1.
Для любого события вероятность есть
число неотрицательное:
.
2.
Теорема
сложения:
Если событие А можно разбить на 2
несовместных события В и С, то вероятность
события А равна сумме вероятностей В и
С :
.
3.
Вероятность достоверного события равна
единице
,
т.к.
.
4. Вероятность противоположного события равна
5. Вероятность невозможного события равна 0:
P (Ø) = 0, т.к. m=0.
6.
Если событие А влечет за собой событие
В, то
.
7.
