РГР Ряды [15 вариант] / Типовой ряды 15 вариант №1,2,4,10,11,12,14,15

6 _11_15

в задачникедо2005 годаиздания (в мягкой обложке) :

∑∞ (n + x)n

n=1 nn

Согласнопризнаку Коши:

u

(n + x)n

n + x

lim n

n

= lim n

= lim

nn

n

n−>∞

n−>∞

n−>∞

n + x

при x < 0

<1 рядсходится

n

∞

n

∞

при x = 0 ∑(n +n0)

= ∑1− ряд расходится

n=1

n

n=1

при x > 0

n + x

>1 ряд расходится

n

областьабсолютной сходимости x (−∞; 0)

в задачнике2005 годаиздания (в твердой обложке) :

∞

1

n

∑

4

x−2

n

n=1

ОДЗ: x ≠ 2

Согласнопризнаку Даламбера:

u

1

n

1

1

1

1

1

lim n

= lim n

4x−2

= lim

4x−2

n

= 4 x−2 lim

= 4x−2

n

n

n

n→∞

n

n→∞

n→∞

n→∞ n

1

<1 x < 2

4

x−2

ответ: областьабсолютной сходимости: x < 2

6 _14 _15 _1

в задачникедо2005 годаиздания (в мягкой обложке) :

∞

1

∑

n 9n

(x −1)

2n

n=1

1

n 9n (x −1)2n

lim

u

n+1

= lim

(n +1) 9n+1 (x −1)2n+2

= lim

=

un

1

(n

+1)

9n+1 (x −1)2n+2

n→∞

n→∞

n→∞

n 9n (x −1)2n

=

1

lim

n

=

1

1 =

1

<1 x (−∞; 2 / 3) (4 / 3; ∞)

(1)

9 (x −1)2

n→∞

n +1

9 (x −1)2

9 (x −1)2

абсолютносходитсясогласнопризнаку Даламбера.

проведемисследованиена границе

a)при x = 2 / 3

∞

1

∞

1

∞

1

∞

1

∑

=

∑

= ∑

= ∑

n 9n

(2 / 3 −1)

2n

n 9n (−1/ 3)

2n

9n

1

n

n=1

n=1

n=1 n

n=1

9n

∞

∞

∫

= ∞ интеграл расходится

1 dx = ln x |

1

x

1

∞

1

расходится(поинтегральному признаку Коши)

∑

n=1

n

b)при x = 4 / 3

∞

1

∞

1

∞

1

∞

∑

=

∑

= ∑

= ∑1

− этот ряд расходится

(4 / 3 −1)

2n

n 9n (1/ 3)

2n

1

n=1

n 9n

n=1

n=1 n 9n

n=1 n

9n

областьсходимости x (−∞; 2 / 3) (4 / 3; ∞)

абсолютносходится.

	(1)	1	<1 1 < 9(x −1)2		x −1		>	1
		9(x −1)2						3

ответ: наинтервале x (−∞; 2 / 3) (4 / 3; ∞) рядабсолютносходится.

6 _14 _15 _ 2

в задачнике2005 годаиздания(в твердой обложке) :

∞

(2n-1)!!

(1)

∑

x2n+1

(2n)!! (2n+1)

∞

(2n-1)!!

arcsinx −1=

n=0

−1 = ∑

x2n −1 =

x

x

n=0

(2n)!! (2n+1)

∞

(2n-1)!!

= ∑

x2n

(2n)!! (2n+1)

n=1

(2n −

1)!!

`

1

∞

2n

(1) (arcsinx)

=

= ∑

x

1 − x2

(2n)!!

n=0

(

<1) arcsin (x)=

x

∞

(2n −1)

!!

∞

(2n −1)!! x

2n+1

x

∑

x2n dx = ∑

(

)

∫0 n=0

(2n)!!

n=0

(2n)!! (2n +1)

x

<1

Областьсходимости: рядМаклоренафункции arcsin (x)сходится абсолютно при x <1

данный рядсходится абсолютнопри x <1.

∞

∑(−1)n

n=1

6 _15 _15 _1

в задачникедо2005 годаиздания (в мягкой обложке) : xn

8n −12

при любомфиксированном x [0,1] ряд является знакочередующимся,

членыкоторого убываюти lim un = 0 рядсходитсяи суммаего

n−>∞

остатка непревосходитпервогочлена этогоостатка по модулю.

∞

(−1)

n

x

n

x

n+1

Rn (x)

=

∑

≤

k =n+1 8n −12

8(n +1) −12

значитпри x [0,1]

Rn (x)

≤

1

8(n

+1) −12

1

< ε n > 1 + 4ε

взяв любоеε > 0 потребуем, чтобы

8(n +1) −12

8ε

Положив такимобразом N > 1 + 4ε

мы убеждаемся, чтопри n > N

8ε

Rn (x)

< ε наотрезке[0,1].Темсамым равномернаясходимость

рядадоказана

т.к. для любого x [0,1]

Rn (x)

≤

1

≤ 0,1 n = 2,3, 4, 5,... − при этих n абсолютная

8(n

+1) −12

величинаостатка непревосходит0,1длявсе х [0,1]

6 _15 _15 _ 2

в задачнике2005 годаиздания(в твердой обложке) :

Ряд маклоренафункции ех можнопочленноинтегрироватьпо любомуотрезку.

0,3

0,3

∞

2

k

∞

0,3

2

k

∞ 0,3

k

k

2k

∫e−2 x2 dx = ∫

∑(−2x

)

dx = ∑∫

(−2x

)

dx = ∑∫

(−1)

2

x

dx =

0

0 k =0

k!

k =0 0

k!

k =0 0

k !

∞

(−1)

k

2

k

x

2k +1

0,3

=

∞

k

2

k

(0, 3)

2k +1

= ∑

|

∑(−1)

=

k =0

(2k +1) k !

0

k =0

(2k +1) k !

∞

(−1)

k

2

k

(0, 3)

2k +1

= ∑

− знакочередующийся ряд, для котороговыполняются условия :

k =0

(2k +1) k!

1)

un

>

un+1

Значит, ряд удовлетворяет условиямтеоремы Лейбница.

2) lim

un

= 0

n→∞

Поэтомуесли сумму знакочередующегося ряда заменитьсуммой первых k членов,

топогрешностьнепревышаетпоабсолютной величинепервогоотброшенногочлена

u

0

=

3

>α;

u

=

9

>α;

u

2

=

972

<α

10

1

500

1000000

∞

k

2

k

(0, 3)

2k +1 1

(−1)

k

2

k

(0, 3)

2k +1

3

9

∑(−1)

≈ ∑

=

−

= 0.3 −0.018 = 0.282

(2k +1) k !

10

500

k =0

(2k +1) k !

k =0

0,3

∫e−2 x2 dx ≈ 0.282

0

Оценимпогрешность. Онаскладываетсяиз

1)погрешность заменысуммыбесконечного ряда насуммy первых k членов

2)погрешностьокругления(новданномслучаеона равна 0, т.к. вовремяокругления членов ряданетотброшенныхцифр)

∂ = ∂зам +∂окр = 1000000972 +(0 + 0)= 1000000972 < 0.001