1.4.1 Моделирование турбулентности

Турбулентный перенос вещества, тепла и импульса был и остается на сегодняшний день одним из наиболее сложных объектов исследования механики жидкости и газа. Теория турбулентности все еще далека от своего завершения: появляются новые подходы к изучению этого явления, новые модели, обеспечивающие лучшее понимание его отдельных свойств /63-114/.

Теоретически, наиболее правильным подходом к численному исследованию задач турбулентного движения жидкостей и газов должно быть, конечно, прямое численное решение уравнений Навье–Стокса без осреднений и дополнительных предположений /63-65, 68/. Данный подход имеет английскую аббревиатуру DNS (direct numerical simulation). С практической точки зрения, такой подход крайне неэффективен, принимая во внимание затраты времени машинного счета: размер расчетной сетки должен быть таким, чтобы позволял «разрешить» наименьшие из вихревых структур (так называемые вихри колмогоровского масштаба); поскольку речь идет о нестационарном, пульсационном движении, шаг по времени должен быть выбран достаточно малым, чтобы иметь возможность проследить зарождение, перенос и диссипацию турбулентных вихрей. Даже если предположить, что имеет место изотропная и однородная турбулентность, и для решения задачи используется равномерная сетка, количество узлов в ней для трех измерений должно быть пропорционально кубу числа Рейнольдса, посчитанного по величинам пульсации скорости и интегрального масштаба турбулентности /115/. Результаты решения такой задачи содержали бы в себе большое количество информации о течении и могли бы быть расценены как «экспериментальные» данные. Прямое численное решение уравнений Навье–Стокса для реальных задач газовой динамики в данный момент не представляется возможным, хотя имеются работы, использующие очень близкий подход, например, для задачи поперечного обтекания цилиндра /61/. С появлением более мощных и доступных компьютеров этот подход может быть использован для понимания механизмов генерации, переноса и диссипации вихревых структур в турбулентных течениях, а также для оценки адекватности тех или иных моделей турбулентности, о которых речь пойдет ниже.

Среди альтернативных методов представления уравнений Навье–Стокса, связанных с использованием так называемых моделей турбулентности, можно выделить два следующих их вида: с осреднением уравнений по Рейнольдсу и фильтрацией вихревых структур. Обе методики требуют дополнительных предположений для замыкания системы уравнений.

Идея первого подхода состоит в том, что из случайных полей, характеризующих турбулентный поток, выделяются средние по времени величины и для них записываются уравнения движения. В основе данного метода лежит разделение переменных на осредненные и пульсации и дальнейшее осреднение по времени по определенным правилам, описанных, например, в /67, 107/. Использование такого подхода, во-первых, позволяет экономить вычислительные ресурсы, а, во-вторых, может быть оправдано с практической точки зрения — во многих прикладных задачах требуется знать средние характеристики потока: среднюю по времени скорость, расход, температуру, концентрацию и т.д.

В результате осреднения по времени в полученных уравнениях появляется тензор вязких напряжений Рейнольдса, который нельзя выразить через средние характеристики потока. В этом случае количество неизвестных превышает число уравнений и система оказывается незамкнутой. Попытки замыкания системы без дополнительных гипотез приводят к цепочке уравнений Фридмана–Келлера /67/, которая может быть ликвидирована лишь с помощью какой-либо полуэмпирической теории турбулентности. Термин «полуэмпирическая теория» отражает тот факт, что все модели в рамках этого подхода обязательно содержат константы, значения которых должны определяться из опытов.

Часть полуэмпирических моделей турбулентности оперирует понятием «эффективная вязкость», т.е. сумма молекулярной и турбулентной вязкости. Что касается последней величины, то в соответствии с идеей Буссинеска /64/ она связывает тензор турбулентных напряжений Рейнольдса с тензором скоростей деформации, записанным в терминах осредненных скоростей.

Наиболее простым способом получения значения эффективной вязкости является ее задание априори. Такое предположение иногда используется, например, при моделировании переноса концентраций загрязняющих веществ в приземном слое атмосферы в условиях застройки, но, как отмечено в /62/, с изменением конфигурации застройки требуется подбор значения эффективной вязкости на основании экспериментальных данных.

Имеются модели, в которых турбулентная вязкость используется как скалярная величина, подчиняющаяся обобщенному закону переноса /107, 108/.

Отдельную группу образуют модели, использующие для вычисления турбулентной вязкости введенное Прандтлем понятие длины пути смешения турбулентного моля, под которой понимают расстояние, проходимое турбулентным молем поперек потока, прежде чем происходит его смешение с окружающей жидкостью. На протяжении пути смешения турбулентный моль не изменяет своего импульса, теплосодержания, массы. В конце этого пути он мгновенно смешивается с окружающей жидкостью и значение его импульса, теплосодержания, массы пульсационно изменяется.

Наиболее популярными на сегодняшний день моделями, использующими понятие турбулентной вязкости, являются двухпараметрические модели, например, так называемая k-ε–модель. Турбулентная вязкость в этом случае рассчитывается с помощью дифференциальных уравнений для кинетической энергии турбулентных пульсаций k и скорости ее диссипации ε, отнесенных к единице массы /63, 66 и др./. Начиная с А.Н. Колмогорова /71/, все большее применение находят модели с использованием уравнения для средней частоты турбулентных пульсаций ω /91-96, 107/. Рост ее популярности по отношению к k-ε–модели объясняется хорошим описанием турбулентного потока вблизи твердых поверхностей (течения при малых числах Рейнольдса). Другие модели данного типа, например, описанные в /82, 109/, не получили особого распространения.

Среди полуэмпирических теорий выделяется подход, основанный на использовании дифференциальных уравнений переноса для вторых одноточечных моментов турбулентных пульсаций /66, 76, 112/. Данная модель не использует предположения об изотропности турбулентности, для замыкания осредненных уравнений Навье–Стокса решается система дифференциальных уравнений, описывающих перенос тензора напряжений Рейнольдса совместно с уравнением для скорости диссипации энергии пульсаций ε для вычисления масштаба турбулентности. В результате постановки задачи с использованием модели рейнольдсовых напряжений для трехмерных задач потребуется решить 7 дополнительных дифференциальных уравнений в частных производных. Использование этой модели может быть оправдано в случаях, когда анизотропия турбулентности оказывает доминирующее влияние на характер течения.

Как уже отмечалось, в обозримом будущем прямое численное решение уравнений движения жидкости при больших числах Рейнольдса не представляется возможным в связи с сильным разбросом масштабов турбулентных структур (отношение масштабов крупных и малых вихрей составляет несколько порядков). Однако уже сейчас на высокопроизводительных суперкомпьютерах могут использоваться методы фильтрации турбулентности, так называемая модель крупных вихрей или LES (от англ. large eddy simulation), как это показано, например, в /68/. Суть этих методов /68, 113, 114/ состоит в том, чтобы ограничится прямым исследованием нестационарных уравнений движения для трех измерений только в масштабах, превышающих некоторый заданный размер (например, шаг расчетной сетки). При этом масштабы вихрей, для которых прямое разрешение невозможно, моделируются с использованием турбулентной вязкости или другой рациональной аппроксимации процессов переноса.

Методы фильтрации, таким образом, занимают некое промежуточное положение между прямыми (DNS) и полуэмпирическими методами моделирования турбулентности.

Подытоживая все вышесказанное относительно моделирования турбулентности, следует отметить, что в данное время не существует универсальной модели турбулентности. Выбор модели турбулентности зависит от характера течения (в трубах, с закруткой потока, свободное истечение и т.д.), сложившейся практики применения, требуемой точности, доступных временных и вычислительных затрат.