17.2. Законы распределения погрешностей

1. Нормальный (закон распределения Гаусса)

.

Обозначают: N(m, σ).

График плотности распределения:

Заметим, что если σ₂ < σ₁, то площадь под графиком распределения N(m, σ₂) в интервале [−∆x₁, ∆x₁] будет больше, чем площадь под графиком распределения N(m, σ₁) в аналогичном интервале. А, как известно, эта площадь равна вероятности P(∆x  [−∆x₁, ∆x₁]), т.е. вероятности попадания случайной величины ∆x в указанный интервал. Таким образом, чем меньше СКО, тем более точный результат мы получим при измерении (так как вероятность появления больших значений погрешности при малых СКО гораздо меньше, чем при больших). Это подтверждает, что СКО есть мера точности.

Нормальный закон является самым употребительным, поскольку по центральной предельной теореме, достаточно большое число слагаемых — случайных величин со своими законами распределения дадут нормальный закон, если ни одна из величин не преобладает над другими.

2. Равномерный закон дается плотностью распределения

.

Обозначают: U(−∆x₁, ∆x₁).

График плотности распределения:

По этому закону, в частности, распределена погрешность квантования дискретных (цифровых) измерительных приборов.

3. Трапециевидный закон распределения — композиция двух независимых равномерных законов распределения со своими границами ∆x₁ и ∆x₂.

График распределения при условии показан на следующей странице.

+

=

4. Треугольный закон (закон Симпсона) — трапециевидный закон при ∆x₂ = ∆x₁.

График распределения:

§18. Суммирование погрешностей

По форме записи выделяют следующие погрешности:

абсолютные ∆x

относительные δx

приведенные γx

Составляющие погрешности суммируются обычно через относительные погрешности. Если у нас есть среднеквадратические отклонения σ_i всех составляющих погрешности, то суммарное среднеквадратическое отклонение . Из математической статистики известны два общих факта:

1. Матожидание суммарной погрешности определяется алгебраическим суммированием математических ожиданий отдельных составляющих:

.

2. Дисперсия суммарной погрешности равна сумме дисперсий составляющих плюс удвоенной ковариации каждой пары составляющих:

.

Здесь r_ij — коэффициент корреляции i-й и j-й составляющих погрешности. На практике обычно рассматривают два случая: когда r_ij = 0 и когда r_ij = ±1.

18.1. Суммирование случайных погрешностей, распределенных по нормальному закону

Пусть имеется n составляющих погрешности, распределенных нормально, и доверительный интервал ±δ_ip, где i — номер составляющей, p — доверительная вероятность. Тогда

,

где Z_pi — коэффициент, взятый из таблиц нормального распределения и соответствующий доверительной вероятности p.

Если корреляционные связи присутствуют (r_ij = ±1), то

(1)

где знак ± означает, что для компоненты с положительной корреляцией нужно в сумме ставить знак «+», для компоненты с отрицательной — знак «−». Мы используем ; для нашего случая такое приближение вполне оправдывает себя.

Если корреляционные связи отсутствуют (r_ij = 0), то

. (2)

Как известно из теории вероятностей, сумма составляющих, имеющих нормальное распределение, также имеет нормальное распределение. Поэтому границы доверительного интервала результирующей погрешности с доверительной вероятностью p определяются выражением δ_Σ = ±Z_pσ_Σ. Тогда, если использовать выражение (1), получим

. (3)

Такое суммирование погрешностей называется арифметическим.

Если использовать выражение (2),

. (4)

Такое суммирование называется геометрическим.

Заметим, что арифметическое суммирование дает завышенный результат (оценку сверху) доверительного интервала суммарной погрешности, поскольку в реальности коэффициенты корреляции могут находиться по модулю в пределах от нуля до единицы.