- •7(1). Предел числовой послед-ти.
- •8(1). Предел и непрерывность функции.
- •9(1). Т. Вейерштр. Об огр-сти.
- •10(1). Дифф-мость числовой ф-ции.
- •11(1). Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа.
- •12(1). Интеграл Римана.
- •1. Понятие интеграла Римана.
- •13(1). Первообразная и неопр-ый интеграл.
- •14(1). Числовые ряды.
- •15(1). Функциональные посл-ти и ряды.
- •16(1). Степенные ряды.
- •17(1). Ряды Фурье.
7(1). Предел числовой послед-ти.
Опр1.Числовая послед-ть - ф-ция,зад. на мн-ве нат. чисел: Обознач-е: Пр.{1, 2, 3,..., 1000} - не послед-ть, (должно быть счетное число членов); - послед-ть т.к. ее члены можно переобозначить:
Опр2.
Опр3. Интервал назовем -окрестностью точки а и обозначим .
Геом.смысл предела послед-ти. Число а явл. пределом послед-ти , для произвольно малой окрестности точки а найдется номер, начиная с кот. все члены послед-ти попадают в указ. окрестность.
Опр4. Если предел послед-ти сущ-ет и конечен, послед-ть наз-ся сходящейся.
Опр5.
Т1.Если послед. имеет предел, то он единственный.
Т2. Сходящаяся послед-ть ограничена.
Опр6. Если из послед-ти удалить конечное или бесконечное число ее членов так, что останется бесконечно много членов, то оставшаяся часть образует послед-ть, наз-мую подпослед-тью исходной послед-ти. Обознач.: ,
Т3. Всякая подпослед-ть сходящейся послед-ти сходится к пределу послед-ти.
Опр7. Послед-ть наз. бесконечно малой (б.м.), если ее предел равен нулю.
Сумма конечного числа б.м. , произведение б.м. на огранич-ю, произвед-е любого числа б.м. явл. б.м.
Лемма:
Т4. ] , . Тогда предел суммы,
разности и произвед. послед-тей и равен соотв-но сумме, разности и произведению их пределов. Если, все ≠0, то предел равен .
По лемме где и - б.м.
1) При этом , где -б.м., и по лемме получаем: .
2) Покажем, что , вновь используя лемму:
докажем, что последнее слагаемое →0 с ростом п.
1-ый множитель в нем явл. б. м. велич.
Докажем, что второй множитель ограничен. Действит., т.к. при .
При этом по св-ву модулей , т.е. что и означ. огр-ть этой велич.
Сис-ма отрез. наз. Сис-ма вложенных отрез., если
Сис-ма стягивающихся отрез.- послед. вложенных отрез., длины кот. →0 с ростом номера.
T Кантора: Всякая сис-ма стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку.
Принцип Кантора: Всякая сис-ма вложенных отрезков имеет непустое пересечение.
Т Больцано – Вейерштрасса: Из всякой огранич. послед-ти можно выделить сходящ. подпослед-ть. 1. Пусть ограничена, т.е. есть отрезок , содержащий послед-ть. Разделим этот отрезок пополам и обозначим через ту его часть, кот. содерж.бесконечно много членов (она есть, т.к. иначе на лежало бы конечное число членов послед-ти). Отрезок разделим пополам и
обозначим через ту его часть, кот. содержит бесконечно много членов . Продолжим процесс неогр-но. Получ.стягивающуюся сис-му отрезков
Длина отрезка ,на каждом из кот. им-ся бесконечно много членов послед-ти . По T. Кантора указанная сис-ма отрезков имеет единственную общую точку. Обозначим ее ξ.
На выберем произв. образом точку
На выберем с ном., большим . Это можно сделать, т.к. на беск. много точек из .
Продолжим процесс. На k-м шаге на выберем с номером .Продолжим процесс неограниченно. Т.о., построили некоторую подпослед-ть послед-ти . Отрезок содержит и т.ξ, и т. , т.е. . имеет пределом точку ξ . .
Опр8. Послед-ть {хп} наз. фундаментальной, если
Любая фунд. послед-ть огр-на.
Критерий Коши сходимости послед-ти. Для сход-ти послед-ти необходимо и достаточно, чтобы она была фунд-ной.