III случай:

если - простой комплексный корень характеристического уравнения (здесь - мнимая единица), то корнем характеристического уравнения будет и сопряженное с kj число

. Паре корней соответствуют функции в ФСР;

если - комплексный корень характеристического уравнения кратности r > 1, то корнем характеристического уравнения той же кратности будет и число . Паре корней , каждый из которых имеет кратность r > 1, соответствуют набор функций в ФСР.

ЛНДУ со специальной правой частью.

Для простоты рассмотрим ЛНДУ второго порядка. (для порядков выше 2 рассуждения аналогичны).

,где p,q- некоторые числа (1)

Согласно теореме об общем решении ЛНДУ, общее решение (1) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Для уравнения с постоянными коэффициентами (1) существует простой способ нахождения , если правая часть f(x) уравнения (1) имеет так называемый "специальный вид":

I.

или

II.

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (1) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют её в уравнение (1) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

1 Случай.

Правая часть имеет вид , где многочлен степени n. Уравнение (1) будет иметь вид: . (2)

В этом случае частное решение ищем в виде:

, (3)

где r - число, равное кратности α как корня характеристического уравнения (т.е. r-число, показывающее, сколько раз α является корнем характер-го уравнения.), а - многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами .

а) Пусть α не является корнем характер-го уравнения, т.е. α≠k1,k2. Следовательно,

После подстановки функции и её производных в уравнение (2) и сокращения на , получим:

(4)

Слева - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа - многочлен степени n, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему (n+1) алгебраических уравнений для определения .

б) Пусть α является двукратным корнем характеристического уравнения, т.е α=k1=k2. В этом случае , поэтому уравнение (4) принимает вид

Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени n, частное решение следует искать в виде (в равенстве (3) принять r=2).

в) Пусть α является однократным (простым) корнем характеристического уравнения, т.е. α=k1≠k2.

В этом случае искать решение в форме нельзя, т.к. и уравнение (4) принимает вид .

В левой части - многочлен степени (n-1), в правой части - степени n. Чтобы получить тождество многочленов частное решение следует искать в виде (в равенстве (3) положить r=1).

2 Случай.

Правая часть имеет вид , где Pn(x) и Qm(x) - многочлены степени n и m соответственно, α и β - действительные числа. Уравнение (1) запишется в виде

(5)

Можно показать, что и в этом случае частное решение уравнения (5) следует искать в виде

(6)

где r - число равное кратности α ± βi как корня характер-го уравнения , Ml(x) и Nl(x) -многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l - наивысшая степень многочленов Pn(x) и Qm(x), т.е. l=max(n,m).

Замечания.

1. После подстановки функции (6) в (5) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

2. Форма (6) сохраняется и в случаях, когда Pn(x)=0 или Qm(x)=0.

3. Если правая часть уравнения есть сумма функций вида I и II, то для нахождения следует использовать теорему о наложении решений:

Если правая часть уравнения представляет собой сумму двух функций: f(x) =f1(x)+f2(x), а и - частные решения уравнений и соответственно, то функция является частным решением уравнения .

68. Системы дифференциальных уравнений. Нормальная форма записи. Задача Коши и формулировка теоремы существования и единственности её решения в случаях: а) одного уравнения первого порядка; б)одного уравнения порядка выше первого; в) системы уравнений первого порядка в нормальной форме.

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид систем ДУ первого порядка, содержащий n искомых функций y1,y2,...,yn, следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

(1)

называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Решением системы (1) называется совокупность из n функций y1,y2,...,yn, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (1) имеют вид:

y1(x0)=y10, y2(x0)=y20,...yn(x0)=yn0 (2)

Задача Коши и формулировка теоремы существования и единственности её решения в случаях:

a) Задача Коши (задача с начальным условием).

Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения ; (3)

удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0; (4)

(начальное условие (4) часто записывают в форме ).

Теорема Коши (существования и решения задачи Коши).

Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи ((3),(4)).

Эта теорема приводится здесь без доказательства. На самом деле для существования решения в окрестности точки x0 достаточно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения.

б) Постановка задачи Коши для уравнения n-го порядка:

требуется найти решение уравнения ; (5)

удовлетворяющее начальным условиям

(6)

где y0, y1, y2, …, yn-1 - заданные числа.

В случае уравнения второго порядка это означает, что требуется найти решение, проходящее через заданную точку (x0, y0,) с заданным угловым коэффициентом y1.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x, y, p1, p2, …, pn-1) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой области D n + 1-мерного евклидового пространства переменных (x, y, p1, p2, …, pn-1), и пусть точка (x0, y0, y1, y2, …, yn-1) принадлежит области D. Тогда в некоторой окрестности точки x0 существует решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям (6). Это решение единственно.

в)Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если в системе (1) все функции fi(x;y1;...;yn) непрерывны вместе со всеми своими частными производными по yi в некоторой области D ((n+1)-мерного пространства), то в каждой точке Mo(x0;y10;y20;...;yn0) этой области существует, и при том единственное, решение y1= , y2= , ..., yn= системы, удовлетворяющее начальным условиям (2).