2.8.3. Логарифмический критерий устойчивости
В его основу положен критерий устойчивости Найквиста.
2.8.3.1 Системы управления с АФЧХ первого рода. Рассмотрим АФЧХ абсолютно устойчивых систем с различным числом полюсов в правой полуплоскости (рис.2.70, 2.71, 2.72).
Обозначим:
– частота, на которой фазовый сдвиг
между входной и выходной величинами
разомкнутой САУ равен
;
– частота
среза, на
которой коэффициент передачи разомкнутой
САУ
.
Рисунок 2.70 Рисунок 2.71
Рисунок 2.72
Из
рисунков 2.70–2.72 видно, что в абсолютно
устойчивых замкнутых САУ фазовый сдвиг
между входной и выходной величинами
разомкнутой цепи может достигать
величины
только при коэффициенте передачи
.
Это позволяет легко определить
устойчивость замкнутой САУ по виду ЛАХ
и ЛФХ разомкнутой системы (рис.2.73–2.74).
Формулировка
логарифмического критерия:
замкнутая САУ будет устойчива, если ЛАХ
разомкнутой системы принимает
отрицательные значения раньше, чем ЛФХ
достигает значения
.
В соответствии с этим САУ, АФЧХ разомкнутой цепи которой приведена на рисунке 2.73, является устойчивой, а на рисунке 2.74 – неустойчивой.
Рисунок 2.73 Рисунок 2.74
2.8.3.2. Системы управления с АФЧХ второго рода. Рассмотрим устойчивую САУ с АФЧХ второго рода (разомкнутой цепи), ее ЛАХ и ЛФХ показаны на рисунке 2.75.
Сопоставление
АФЧХ, ЛАХ и ЛФХ показывает, что
положительному переходу АФЧХ отрезка
действительной оси
(точка 2) соответствует пересечение ЛФХ
(при
)
прямой
снизу вверх, а отрицательному переходу
(точка 1) – сверху вниз.
Рисунок 2.75
Формулировка
логарифмического критерия:
замкнутая САУ будет устойчивой, если в
диапазоне частот, где ЛАХ разомкнутой
цепи
,
число переходов ЛФХ прямой
снизу вверх превышает на
число переходов сверху вниз, где m
– число полюсов в правой полуплоскости.
В частном случае
.
2.8.4. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе
Надежное функционирование САУ может быть обеспечено только при некотором удалении ее от границы устойчивости. Необходимость удаления вызвана следующими причинами:
а) уравнения элементов САУ, как правило, идеализированы, при их составлении не учитывают второстепенные факторы;
б) параметры элементов определяют с некоторой погрешностью;
в) параметры однотипных элементов имеют технологический разброс;
г) в процессе эксплуатации параметры элементов изменяются вследствие старения.
Следовательно,
устойчивая по расчету САУ в действительности
может оказаться неустойчивой, и поэтому
необходимо обеспечить некоторое удаление
ее от границы устойчивости. Это удаление
определяет запас устойчивости, который
характеризуется двумя величинами:
запасом устойчивости по фазе
и запасом устойчивости по амплитуде H
(
).
Запасом устойчивости по фазе называют угол (рис. 2.76)
.
(2.177)
Рисунок 2.76
Запас устойчивости по амплитуде рассматривают применительно к а) АФЧХ; б) ЛАХ.
Для САУ с АФЧХ первого рода (рис. 2.76):
а)
запасом устойчивости по амплитуде
называется отрезок Н действительной
оси между критической точкой
и АФЧХ;
б) запасом устойчивости по амплитуде называется величина в децибелах, на которую нужно увеличить коэффициент усиления k разомкнутой системы, чтобы привести ее к границе устойчивости:
.
(2.178)
Для САУ с АФЧХ второго рода (рис. 2.77):
а)
запасами устойчивости по амплитуде
называют отрезки
и
действительной оси между критической
точкой
и
АФЧХ;
Рисунок 2.77
б)
запасами устойчивости по амплитуде
и
(рис. 2.78) называются величины в децибелах,
на которые нужно изменить коэффициент
усиления k
разомкнутой системы, чтобы привести ее
к границе устойчивости.
В
большинстве случаев для нормальной
работы САУ принимают запас устойчивости
по амплитуде
дБ, а по фазе
.
Рисунок 2.78