- •Интегральное исчисление Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределенный интеграл, правила интегрирования.
- •Пример 1. Найти первообразные для функции , проходящие через точки м(2;4) и м(0;-4). Сделать рисунок.
- •Свойства неопределенных интегралов
- •Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям, метод подстановки.
- •Простейшие преобразования
- •Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Интеграл вида .
- •Интеграл вида если функция r является нечетной относительно cosx
- •Интегрирование иррациональных функций. Тригонометрические подстановки.
- •Интеграл вида где n- натуральное число
- •Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции
- •О технике интегрирования
Интегральное исчисление Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределенный интеграл, правила интегрирования.
Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести. Символ
введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования "восстанавливает" функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.)
Функция F(x) называется первообразной по отношению к функ-
ции f(x) на некотором множестве X, если на этом множестве
функция F(x) дифференцируема и удовлетворяет уравнению
F¢(x) = f(x)
или,
dF(x) = f(x)dx.
Так, например, функция – первообразная на любом промежутке по отношению к функции , так как . Аналогично из тождества следует, что функция является первообразной по отношению к функции .
Таким образом, основываясь на знании таблицы производных основных элементарных функций можно составить таблицу базовых первообразных:
Тип функции |
Функция |
Первообразная |
|
Степенная |
, кроме |
|
|
Показательная |
|
|
|
|
, при |
|
|
Логарифмическая |
|
|
|
Тригонометрическая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратно - тригонометрическая |
|
|
|
|
|
|
|
Легко проверить, используя правила дифференцирования, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве.
Если и – две первообразные для функции на
данном множестве, то они могут отличаться лишь на посто-
янную, т.е. , где C – постоянная.
Доказательство:
Положим .
, следовательно .
Действительно .
На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.
Теорема 2 (о первообразных).
Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на
заданном множестве, то все ее первообразные имеют вид
F(x) + С, где С– произвольная постоянная.
Геометрически y = F(x) + C означает, что график любой первообразной функции получается из графика функции y = F(x) простым сдвигом его параллельно оси ОУ на величину С (см. рисунок 1). График первообразной от функции f (x) называется интегральной кривой этой функции, поэтому
неопределенный интеграл геометрически представляется множеством всех
интегральных кривых, получаемых при непрерывном параллельном движении одной из них по вертикали.
Рис.1.
В связи с тем, что одна и та же функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, возникает проблема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.