- •Матрицы. Определители. Основные понятия.
- •Обратная матрица. Ранг матрицы.
- •Алгоритм нахождения ранга матрицы.
- •Системы линейных уравнений. Системы линейных неравенств.
- •Векторы. N – мерное линейное векторное пространство.
- •Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
- •Квадратичные формы.
- •7.Кривые второго порядка на плоскости (окружность, эллипс).
- •Пусть и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 7.2).
- •8. Кривые второго порядка на плоскости (гипербола, парабола).
- •Комплексные числа. Алгебраическая форма записи.
- •10. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи.
- •Многочлены и действия над ними.
- •Функции. Графики основных элементарных функций.
- •Способы задания функции.
- •Графики элементарных функций.
- •Линейная функция.
- •Квадратичная функция
- •Гипербола
- •Степенная функция с натуральным показателнм.
- •Функция .
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Предел функции.
- •Непрерывность в точке. Виды разрывов.
- •Производная, ее геометрический и физический смысл.
- •Дифференциал, его геометрический и механический смысл.
- •Теоремы о дифференцируемых функциях и их применение.
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •Первообразная функции. Неопределенный интеграл.
- •Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл.
- •Комбинаторика. Понятие множества. Перестановки. Размещения. Сочетания.
- •Формула включений-исключений и ее применения к комбинаторике и теории чисел. Бином Ньютона.
- •Рекуррентные уравнения.
- •Производящие функции.
- •Булевые функции и их представление. Двоичная запись целых чисел.
- •Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную.
- •Перевод чисел из двоичной системы в десятичную.
- •Теория графов. Основные понятия теории графов.
- •Сущность и условия применимости теории вероятностей. Вероятностное пространство.
- •Действия со случайными событиями.
- •Вероятность события. Аксиоматическое определение вероятности.
- •Вероятность события. Классическое определение вероятности.
- •Случайные величины и способы их описания.
- •Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях.
- •Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов.
- •Задача линейного программирования в общем виде.
- •Виды злп и способы перехода от одного вида к другому.
- •Основные теоремы линейного программирования.
- •Симплекс-метод.
- •Метод искусственного базиса.
- •Алгоритм метода искусственного базиса.
- •Двойственность задач линейного программирования. Таблица соответствий.
- •Теоремы двойственности.
- •Критерии оптимальности.
- •Транспортная задача. Закрытая и открытая модели.
- •Теорема о существовании оптимального решения.
- •Целочисленные злп, графический метод решения в случае двух переменных.
- •Задачи о назначениях и о коммивояжере как частные случаи целочисленных злп.
- •Метод ветвей и границ.
- •Алгоритм метода ветвей и границ:
- •Стандартная задача нелинейного программирования.
- •Локальный экстремум. Необходимое и достаточное условия.
- •Глобальный и условный экстремумы
- •Множители Лагранжа.
- •Задача о потребительском выборе.
- •Выпуклые множества, выпуклые и вогнутые функции. Теорема Куна-Таккера.
- •Динамическое программирование. Общая постановка задачи.
- •Функции Беллмана. Уравнения Беллмана. Условно-оптимальные управления.
- •Условная оптимизация.
- •Безусловная оптимизация.
- •Принцип Беллмана для оптимальных путей.
- •I этап. Условная оптимизация.
- •II этап. Безусловная оптимизация.
- •Оптимальное распределение инвестиций как задача динамического программирования.
- •Теория игр. Игровые модели.
- •Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса.
- •Чистые стратегии. Седловая точка.
- •Решение игр в смешанных стратегиях.
- •Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.
- •Биматричные игры. Равновесие Нэша. Оптимальность Парето.
- •60. Игра двух лиц, в которой одним из игроков является "природа"
Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов.
Определение. Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским, если в любой момент времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в текущий момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.
Определение. Цепью Маркова называется последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных событий Ai из полной группы. При этом условная вероятность pij(s) того, что в s –ом испытании наступит событие Aj при условии, что в (s – 1) – ом испытании наступило событие Ai, не зависит от результатов предшествующих испытаний.
Независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. События называются состояниями системы, а испытания – изменениями состояний системы.
По характеру изменений состояний цепи Маркова можно разделить на две группы.
Определение. Цепью Маркова с дискретным временем называется цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени. Цепью Маркова с непрерывным временем называется цепь, изменение состояний которой возможно в любые случайные моменты времени.
Определение. Однородной называется цепь Маркова, если условная вероятность pij перехода системы из состояния i в состояние j не зависит от номера испытания. Вероятность pij называется переходной вероятностью.
Допустим, число состояний конечно и равно k.
Тогда матрица, составленная из условных вероятностей перехода будет иметь вид:
Эта матрица называется матрицей перехода системы.
Т.к. в каждой строке содержаться вероятности событий, которые образуют полную группу, то, очевидно, что сумма элементов каждой строки матрицы равна единице.
На основе матрицы перехода системы можно построить так называемый граф состояний системы, его еще называют размеченный граф состояний. Это удобно для наглядного представления цепи. Порядок построения граф рассмотрим на примере.
Пример 30.1. По заданной матрице перехода построить граф состояний.
Т .к. матрица четвертого порядка, то, соответственно, система имеет 4 возможных состояния. S1
0,2 0,7
S2 0,4 S4
0,6 0,5
0,1 0,5
S3
На графе не отмечаются вероятности перехода системы из одного состояния в то же самое. При рассмотрении конкретных систем удобно сначала построить граф состояний, затем определить вероятность переходов системы из одного состояния в то же самое (исходя из требования равенства единице суммы элементов строк матрицы), а потом составить матрицу переходов системы.