Федеральное агенство по образованию

Государственный университет цветных металлов

и золота

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

для студентов-заочников всех специальностей

Красноярск 2005

УДК 511

Высшая математика: Контрольные задания для студентов-заочников всех специальностей академии / Сост. Т.П. Мансурова (переработано и дополнено); ГУЦМиЗ. - Красноярск, 2005. - 40 с.

Печатается по решению редакционно издательского совета академии

• Государственный университет цветных металлов и золо-та, 2005.

1. Элементы векторной алгебры

и аналитической геометрии

1 - 10. Даны векторы а(а₁; а₂; а₃), b(b₁; b₂; b₃), c(c₁; c₂; c₃) и d(d₁; d₁; d₁) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис и найти коор­динаты вектора d в этом базисе.

1. a(1; 2; 3), b(-1; 3; 2), c(7; -3; 5), d(6; 10; 17).

2. a(4; 7; 8), b(9; 1; 3), c(2; -4; 1), d(1; -13; -13).

3. a(8; 2; 3), b(4; 6; 10), c(3; -2; 1), d(7; 4; 11).

4. a(10; 3; 1), b(1; 4; 2), c(3; 9; 2), d(19; 30; 7).

5. a(2; 4; 1), b(1; 3; 6), c(5; 3; 1), d(24; 20; 6).

6. a(1; 7; 3), b(3; 4; 2), c(4; 8; 5), d(7; 32; 14).

7. a(1; -2; 3), b(4; 7; 2), c(6; 4; 2), d(14; 18; 6).

8. a(1; 4; 3), b(6; 8; 5), c(3; 1; 4), d(21; 18; 33).

9. a(2; 7; 3), b(3; 1; 8), c(2; -7; 4), d(16; 14; 27).

10. a(7; 2; 1), b(4; 3; 5), c(3; 4; -2), d(2; -5; -13).

11 - 20. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущен­ной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

11. A₁(4; 2; 5), A₂(0; 7; 2), А₃(0; 2; 7), A₄(1; 5; 0).

12. A₁(4; 4; 10), A₂(4; 10; 2), А₃(2; 8; 4), A₄(9; 6; 4).

13. A₁(4; 6; 5), A₂(6; 9; 4), А₃(2; 10;10), A₄(7; 5; 9).

14. A₁(3; 5; 4), A₂(8; 7; 4), А₃(5; 10; 4), A₄(4; 7; 8).

15. A₁(10; 6; 6), A₂(-2; 8; 2), А₃(6; 8; 9), A₄(7; 10; 3).

16. A₁(1; 8; 2), A₂(5; 2; 6), А₃(5; 7; 4), A₄(4; 10; 9).

17. A₁(6; 6; 5), A₂(4; 9; 5), А₃(4; 6; 11), A₄(6; 9; 3).

18. A₁(7; 2; 2), A₂(5; 7; 7), А₃(5; 3; 1), A₄(2; 3; 7).

19. A₁(8;6;4), A₂(10; 5; 5), А₃(5; 6; 8), A₄(8; 10; 7).

20. A₁(7;7;3), A₂(6; 5; 8), А₃(3; 5; 8), A₄(8; 4; 1).

21. Уравнение одной из сторон квадрата x+3y-5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(-1; 0) - точка пересечения его диагона­лей. Сделать чертеж.

22. Даны уравнения одной из сторон ромба x-3y+10=0 и одной из его диагоналей x+4y-4=0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0; 1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

23.Уравнения двух сторон параллелограмма x+2y+2=0 и x+y-4=0, а уравнение одной из его диагоналей x-2=0. Найти ординаты вершин параллело­грамма. Сделать чертеж.

24. Даны две вершины А(-3; 3) и В(5; -1) и точка D(4; 3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

25. Даны вершины А(-3; -2), B(4; -1), C(1; 3) трапеции ABCD (ADBC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

26. Даны уравнения двух сторон треугольника 5x-4y+15=0 и 4x+y-9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0; 2). Составить уравнение третьей сто­роны треугольника. Сделать чертеж.

27. Даны две вершины А(2; -2) и В(3; -1) и точка Р(1; 0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, прове­денной через третью вершину С. Сделать чертеж.

28. Даны уравнения двух высот треугольника x+y=0 и y=2x и одна из его вершин А(0; 2). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

29. Даны уравнения двух медиан треугольника x-2y+1=0 и y-1=0 и одна из его вершин А(1; 3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

30. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x-2y-8=0 и 3x-2y-8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Соста­вить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

31 - 40. Привести уравнение кривой второго порядка f(x;y)=0 к каноническому виду, построить график кривой.

31. 2x² - 4x - y + 3=0; 32. x - 2y² + 4y - 3=0;

33. x² - 2x - y + 2=0; 34. x - y² + 2y - 2=0;

35. x² - 2x + y +2=0; 36. x + y² - 2y + 3=0;

37. 2x² + 8x + y + 7=0; 38. x + 2y² - 4y + 4=0;

39. x² + 4x + y + 3=0; 40. x + 2y² + 4y +1=0.

41 - 50. Линия задана уравнением r = r() в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от =0 до =2и придавая значения через промежутки /8; 2) по рисунку определить тип линии.

41. r = 1/(1+cos)		42. r = 1/(2+cos )
43. r = 4/(2-3cos)		44. r = 8/(3-cos )
45. r = 1/(2+2cos )		46. r = 5/(3-4cos )
47. r = 10/(2+cos )		48. r = 3/(1-2cos )
49. r = 1/[3(1-cos )]		50. r = 5/(6+3cos )

2. Элементы линейной алгебры

51 - 60. Дана система линейных уравнений

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₁ = b₁,

 а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₂ = b₂,

а₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃.

Доказать ее совместность и решитьтремя способами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.

51.	3x1 + 2x2 + x3 = 5, 2x1 + 3x2 + x3 = 1, 2x1 + x2 + 3x3 = 11.	52.	x1 - 2x2 + 3x3 = 6, 2x1 + 3x2 - 4x3 = 20, 3x1 - 2x2 - 5x3 = 6.
53.	4x1 - 3x2 + 2x3 = 9, 2x1 + 5x2 - 3x3 = 4, 5x1 + 6x2 - 2x3 = 18.	54.	x1 + x2 + 2x3 = -1, 2x1 - x2 + 2x3 = -4, 4x1 + x2 + 4x3 = -2.
55.	2x1 - x2 - x3 = 4, 3x1 + 4x2 - 2x3 = 11, 3x1 - 2x2 + 4x3 = 11.	56.	3x1 + 4x2 +2x3 = 8, 2x1 - x2 - 3x3 = -4, x1 + 5x2 + x3 = 0.
57.	x1 + x2 - x3 = 1, 8x1 + 3x2 - 6x3 = 2, 4x1 + x2 - 3x3 = 3.	58.	x1 - 4x2 - 2x3 = -3, 3x1 + x2 + x3 = 5, 3x1 - 5x2 - 6x3 = -9.
59.	7x1 - 5x2 = 31, 4x1 + 11x3 = -43, 2x1 + 3x2 + 4x3 = -20.	60.	x1 +2x2 + 4x3 = 31, 5x1 + x2 + 2x3 = 20, 3x1 - x2 + x3 = 9.

61 - 70. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

61. A = 62. A =

63. A = 64. A =

65. A = 66. A =

67. A = 68. A =

69. A = 70. A =

71 - 80. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z=0.

71. z = 2 /(1 + i). 72. z = 4/(1 + i ).

73. z = – 2 /(1– i). 74. z = – 4/(1 – i ).

75. z = – 2 /(1 + i). 76. z = 2 /(1 – i).

77. z = 4/(1 – i ). 78. z = – 4/( – i).

79. z = 1/( + i). 80. z = 1/( – i).