3. Вычисление двойных интегралов

3.1. Вычисление двойного интеграла сведением к повторному

Двойной интеграл – новый объект и мы укажем способ его вычисления сведением к повторному вычислению определённого интеграла. Сначала рассмотрим двойной интеграл по прямоугольной области стороны которой параллельны осям координат.

Теорема 1.3. Пусть для функции существует двойной интеграл по области . Кроме того, пусть для любого существует .

Тогда существует и интеграл, называемый повторным:

и выполняется равенство

(2)

►Разобьём прямоугольник на прямоугольники, обозначенные , прямыми, проходящими параллельно оси через точки и прямыми, параллельными оси и проходящими через точки Таким образом,

Пусть , числа и , соответственно, равны нижней и верхней граням функции на откуда Проинтегрируем эти неравенства по на отрезках :

Суммируя эти неравенства по от до , получаем.

Умножим все части этих неравенств на и суммируем полученные неравенства по от до :

.

Поскольку , эти неравенства можно переписать в виде

или

,

где – разбиение на прямоугольники При стремится к нулю и величина . Кроме того, при также . Значит, интеграл существует и равен , что и утверждалось. ◄

Замечания.

1. В случае, когда непрерывна на все условия теоремы выполняются и равенство (2) справедливо.

2. Сравните эту теорему с теоремой из приложения 1.Отметим, что интеграл представляет собой собственный интеграл, зависящий от параметра.

Рассмотрим случай криволинейной трапеции. Справедлива такая теорема:

Теорема 1.4 (Фубини). Пусть область задана неравенствами , где . Пусть существует и для любого существует . Тогда существует интеграл и он равен .

►Так как непрерывна на , существует её минимальное значение на этом отрезке. Аналогично, существует мак в прямоугольник , состоящий из точек , , . На этом прямоугольнике рассмотрим функцию

Условия предыдущей теоремы для функции , выполнены. Она интегрируема в , равна 0 (и, значит, интегрируема) в . Следовательно, она интегрируема на всём множестве . При этом

.

Наконец, для любого выполнено равенство

.

По доказанному в предыдущей теореме,

,

Откуда сразу получаем:

,

что и требовалось доказать.◄

Следствие: Пусть ) непрерывна в области , ограниченной сверху графиком функции , снизу - , где , a по бокам - отрезками вертикальных прямых х = а и х = b. Тогда

.

►Из непрерывности сразу следует её интегрируемость на . Кроме того, для любого функция непрерывна (а, значит интегрируема по у). Все условия теоремы выполнены. ◄

Замечание. Если область можно ограничить так: , , то

.

Смысл этих теорем ясен – указан способ сведения двойного интеграла к собственным интегралам, зависящим от параметра.

§4. Замена переменных в двойном интеграле

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных , где – непрерывны в некоторой области . Впоследствии мы будем часто писать просто вместо и т.п. и, кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что x и y – непрерывно дифференцируемые в Δ функции. Будем также использовать обозначения

.

Пусть при этом формулы задают взаимно-однозначное отображение квадрируемых областей: . Кроме того, потребуем, чтобы всюду на области Δ не равнялся 0 якобиан отображения .

Теорема 1.5. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции выполняется равенство

.

►Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку – непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области Δ прямыми, параллельными осям u и v. Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки

Далее, при

При малых производные , вычисленные в точках , мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке , поэтому и определённые выше векторы мало отличаются от векторов и , соответственно, и рассматриваемый четырёхугольник представляет собой «почти параллелограмм».

Как известно из курса линейной алгебры, площадь параллелограмма со сторонами

равна модулю определителя, составленного из координат этих векторов,

,

т.е равна . Поэтому при сделанном преобразовании координат интегральная сумма

близка по величине к интегральной сумме

.

Точнее говоря, можно доказать, что соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства, отличаются друг от друга на стремящуюся к нулю величину. Поэтому и интегралы совпадают.◄

Замечание. Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения нарушится на множестве нулевой площади.