127

Определенный интеграл.

1. Длина пути.

Тело движется по прямой, причем его скорость в момент времени t равна v(t), t[a,b]. Требуется найти значение пути S, пройденного телом за промежуток времени от t=a до t=b (a<b).

Разбиваем промежуток времени [a,b] произвольным образом на n частичных промежутков [t_i,t_i+1], i=0,1,2,…,n-1 (a=t₀<t₁<t₂<…<t_n-1<t_n=b).

Полагаем t_i=t_i+1-t_i, =max{t₀,t₁,…,t_n-1}. Предполагаем частичные промежутки столь малыми, что в течении промежутка времени [t_i,t_i+1] скорость v(t) тела можно приближенно считать постоянной, равной v(_i), где _i[t_i,t_i+1]. Тогда значение пути S_i, t=t_i t=t_i+1

S_iv(_i)(t_i+1-t_i)=v(_i)t_i

Значение всего пути S, пройденного телом за промежуток времени от t=a до t=b, будет приближенно выражаться суммой, состоящей из n слагаемых

Sv(₀)t₀+v(₁)t₁+…+v(_n-1)t_n-1= v(_i)t_i (1)

Чем меньше частичные промежутки времени [t_i,t_i+1], тем меньше ошибка, которую мы делаем, считая движение в течении всего промежутка [t_i,t_i+1] равномерным.

Поэтому за путь S, пройденный телом за промежуток времени от t=a до t=b (a<b), принимаем предел суммы (1) при 0, т.е.

S= (2)

2. Площадь криволинейной трапеции.

П усть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция y=f(x), принимающая лишь неотрицательные значения. Рассмотрим фигуру, ограниченную кривой y=f(x), прямыми х=а, х= b и отрезком оси Ох. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

(Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, можно заменить кривую y=f(x) на некоторую ломаную, расположенную близко к ней. Фигура под ломаной состоит из прямоугольников, значит площадь всей фигуры равна сумме площадей прямоугольников. Т.к. ломаная расположена близко кривой, то S≈S_л.).

Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков:

а=х₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b

и через точки разбиения проведем отрезки прямых параллельно оси Оу. Криволинейная трапеция разобьется при этом на n полос. Заменим приближенно каждую полосу прямоугольником, основание которого тоже, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, например с крайней слева.

Т.о., криволинейная фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников.

Обозначим через х₀,x₁,…,x_n-1,x_n – точки разбиения. Такую систему точек называют разбиением. Разбиений бесконечно много.

Основание i –го прямоугольника (i=0,1,2,…,n-1) равно разности ∆х_i=x_i+1-x_i–длина частичного отрезка.

На каждом отрезке [x_i;x_i+1] выберем точку ξ_i.

Тогда площадь i-го прямоугольника S_i=f(ξ_i) ∆_i.

Тогда площадь криволинейной трапеции S≈

Чем меньше частичные отрезки [х_i,х_i+1], тем меньше ошибка, которую мы делаем, заменяя полосу криволинейной трапеции прямоугольником на [х_i,х_i+1].

Поэтому за площадь S криволинейной трапеции принимаем предел суммы при 0, т.е.

S= (3)

Определение. Пусть функция f(x) задана на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок [a;b] произвольным образом на n отрезков: а=х₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b – разбиение Р.

Наибольшую из разностей ∆х_i=x_i+1-x_i (i=0,1,2,…,n-1) обозначим через λ

λ= -длина наибольшего частичного отрезка разбиения Р. При 0, n.

На каждом отрезке [x_i-1;x_i] выберем произвольную точку ξ_i.

Составим сумму σ= - интегральная сумма Римана для функции f(x) на отрезке [a;b]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a;b] точками х₀,x₁,…,x_n-1,x_n, так и от выбора точек ξ₁,ξ₂,…,ξ_n на каждом из отрезков разбиения [x_i;x_i+1], i=0,1,2,…,n-1. Поэтому σ=σ(Р, ξ).

Рассмотрим предел этой суммы при 0 (n).

Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы σ при λ→0, и этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части [x_i;x_i+1], ни от способа выбора точек ξ_i. в [x_i;x_i+1], i=0,1,2,…,n-1, то он называется определенным интегралом от функции f(x) в промежутке [a;b] и обозначается

I=

Т.о. = (4)

В этом случае функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на [a;b].

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) –подынтегральной функцией, х- переменная интегрирования.

Определение можно ввести на “языке δ-ε”

Число I называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b], если

>0 =δ(ε): >0 независимо от выбора точек ξ_i выполняется неравенство

<0 (5)

Буква, обозначающая переменную интегрирования не имеет значение, т.е.

= = =…

т.к. смена обозначений не влияет по поведение интегральной суммы.

В отличии от неопределенного интеграла, представляющего собой семейство функций, определенный интеграл является определенным числом.

Т.о. в задаче 1 значение пути S, пройденного телом за промежуток времени от t=a до t=b (a<b), определяется по формуле: S=

Геометрический смысл определенного интеграла вытекает из задачи 2 о площади криволинейной трапеции.

На промежутке [x_i;x_i+1] функция f(x) достигает своих наименьшего и наибольшего значений: m_i=f( ) и M_i=f( ), где [x_i;x_i+1], [x_i;x_i+1]. Рассмотрим два прямоугольника. У них общим основанием является отрезок [x_i;x_i+1], а высотами являются соответственно m_i и M_i. (Рисунок). Тогда

m_i(x_i+1-x_i)S_iM_i(x_i+1-x_i), i=0,1,2,…,n-1.

Просуммировав эти неравенства по i=0,1,2,…,n-1, получим:

или (6)

В этом неравенстве суммы и являются интегральными суммами Римана для функции f(x) в промежутке [a,b].

Переходя в неравенстве (6) к пределу при 0, получаем: S=

Т.о., если функция f(x) неотрицательна, то числено равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x) на отрезке [a;b].

Например, =1 – площадь квадрата со стороной 1, - площадь прямоугольного треугольника, - площадь четверти круга с радиусом 1.

Необходимое условие интегрируемости функции.

Теорема. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b],то она ограничена на этом отрезке, т.е. С: [a;b] |f(x)|≤С.

Доказательство. (С.М. Никольский, А. П. Аксенов, ч.1)

Допустим, функция f(x) не ограничена на [a;b]. Следовательно, она неограниченна хотя бы на одном из отрезков [x_i;x_i+1] разбиения, допустим на отрезке . Тогда интегральная сумма имеет вид: σ= + = +А

Все ξ_i, входящие во второе слагаемое, произвольны, но фиксированы. Тогда

Возьмем сколь угодно большое число N: >N  (*)

В силу неограниченности f(x) на найдется точка  для которой выполняется неравенство (*).

Т.о., если f(x) не ограничена на [a;b], то каковы бы ни были число N>0 и разбиение Р, соответствующая Р интегральная сумма путем выбора точек ξ_i может быть сделана больше N по абсолютной величине. Следовательно, f(x) не интегрируема на [a;b].Ч.т.д.

Замечание. Это условие не является достаточным, т.е. не любая функция f(x), заданная на отрезке [a;b] и ограниченная на нем, интегрируема на [a;b].

Пример функции ограниченной, но не интегрируемой (по Риману).

Функция Дирихле на отрезке [a;b].

D(x)= разрывна в каждой точке.

Покажем, что функция Дирихле не является интегрируемой на произвольном отрезке [a;b].

Разобьем промежуток [a;b] произвольным образом на части [x_i;x_i+1], i=0,1,…,n-1.

(а=х₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b). Если в качестве точек ξ_i в [x_i;x_i+1] брать рациональные точки, то получим

σ= = =b-а.

Если в качестве точек ξ_i в [x_i;x_i+1] брать иррациональные точки, то получим

σ= = =0.

Т.о., для функции Дирихле не существует предела интегральных сумм, независящего от выбора точек ξ_i в [x_i;x_i+1]. Следовательно, D(x) не интегрируема на [a;b].