30.Свойства преобразований Лапласа
1.Линейность. Линейной комбинации
оригиналов соответствует такая же
линейная комбинация изображения.
,
,
C1 и C2
– const.
2.Подобие. Если
,
то
,
то есть умножаем аргумент оригинала на
положительное число
приводит
к делению изображения и его аргумента
на это число.
3.Смещение (затухание). Если
,
a-const, то
,
т.е. умножение оригинала на функцию
влечет за собой смещение переменной p.
4. Запаздывание. Если
,
,
то
,
то есть запаздывание оригинала на
положительную величину
приводит к умножению оригина без
запаздывания на
.
5. Дифференцирование оригинала.
6. Дифференцирование изображения.
7.Интегрирование оригинала.
8.Интегрирование изображения.
9.Умножение изображений.
10.Умножение оригиналов.
31.преобразование Лапласа элементарных функций.
1. f (t) Найти изображение процесса начавшегося t=t0 и закончившегося t=t1.
2.Найти изображение функции f(t), имеющей разное аналитическое задание на различных участках вещественной оси.
Удобно представить единичный импульс [t0;t1] следующим образом:
,
П
ример:
32. Свертка. Свойства свертки.
,
- оригиналы.
Сверткой
и
называется
интеграл
*
=
Свойства свертки:
1.
- оригинал
2.
=
3. (
)
=
(
)
4.
(
+
)=
+
33.Применение преобразования Лапласа при решении дифференциальных уравнений.
ДУ II порядка с постоянными коэффициентами.
-
оригиналы.
ДУ с постоянными коэффициентами n-ого порядка.
,
где
- числа;
- оригиналы.
… 
если
34.Линейные однородные системы дифференциальных уравнений.
-
функция, непрерывная на интервале (a;b),
называется коэффициентом, система
называется линейной однородной системой
ДУ I порядка.
-
вектор
- краткая запись системы (*)
Решением данной системы называется
совокупность функций
- непрерывных на интервале (a;b),
удовлетворяющих условию (*) и образующих
каждое уравнение системы (*) в тождество.
Задача Коши для системы (*) – это задача
для нахождения решений этой системы,
удовлетворяющих начальным условиям.
Пусть система (*) имеет решения
;
- общее решение. Система решений называется
линейно независимой на интервале (a;b),
если из равенства
=0
Чтобы найти общее решение системы (*),
надо найти и линейно независимое решение
системы, тогда
Общее решение линейной неоднородной системы ДУ с постоянными коэффициентами
,
где
- числа
Однородная система ДУ имеет решение,
если
=0
(
)
характеристическое уравнение
- собственные числа. Многочлен имеет n корней
1. если все корни характеристического
уравнения различны, то:
2. если
имеет кратность m, то
,
где
-
полином степени (m-1)
Пример:
=0 
ответ:
35.Решение систем дифференциальных уравнений операционным методом.
Рассмотрим задачу Коши.
y(0)=x(0)
L(x,p)=X
L(y,p)=Y
разлож.на дроби
перевести изображение в оригинал.