- •Конспект лекций по дисциплине “Дискретная математика”
- •Санкт Петербург Содержание.
- •Раздел I. Множества, функции, отношения. Лекция № 1. Множества и операции над ними.
- •1. Основные понятия теории множеств.
- •2. Операции над множествами и их свойства.
- •3. Векторы и прямые произведения.
- •Лекция № 2. Соответствия и функции.
- •Соответствия.
- •Отображения и функции.
- •Лекция № 3. Отношения и их свойства.
- •Основные понятия и определения.
- •Свойства отношений.
- •Лекция № 4. Основные виды отношений.
- •Отношения эквивалентности.
- •Отношения порядка.
- •Лекция № 4. Пересчёт.
- •Раздел II. Введение в общую алгебру. Лекция № 6. Элементы общей алгебры.
- •1. Свойства бинарных алгебраических операций.
- •2. Алгебраические структуры.
- •Гомоморфизм и изоморфизм.
- •Лекция № 7. Различные виды алгебраических структур.
- •Полугруппы.
- •Группы.
- •Поля и кольца.
- •Раздел III. Введение в логику. Лекция № 8. Элементы математической логики.
- •Булевы функции.
- •Лекция № 9. Логические функции.
- •Функции алгебры логики.
- •Примеры логических функций.
- •Суперпозиции и формулы.
- •Лекция № 10. Булевы алгебры.
- •Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Булева алгебра функций.
- •Эквивалентные преобразования.
- •Лекция № 11. Булевы алгебры и теория множеств.
- •Двойственность.
- •Булева алгебра и теория множеств.
- •Днф, интервалы и покрытия.
- •Лекция № 12. Полнота и замкнутость.
- •Функционально полные системы.
- •Алгебра Жегалкина и линейные функции.
- •Замкнутые классы. Монотонные функции.
- •Теоремы о функциональной полноте.
- •Лекция № 13. Язык логики предикатов.
- •Предикаты.
- •Кванторы.
- •Истинные формулы и эквивалентные соотношения.
- •Доказательства в логике предикатов.
- •Лекция № 14. Комбинаторика.
- •Правила суммы и произведения.
- •Размещения.
- •Перестановки.
- •Сочетания. Бином Ньютона.
- •Раздел IV. Теория графов. Лекция № 15. Графы: основные понятия и операции.
- •Графы, их вершины, рёбра и дуги. Изображение графов.
- •Матрица инцидентности и список рёбер. Матрица смежности графа.
- •Идентификация графов, заданных своими представлениями.
- •Лекция № 16. Маршруты, цепи и циклы.
- •Основные определения.
- •Связные компоненты графов.
- •Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.
- •Эйлеровы графы.
- •Лекция № 17. Некоторые классы графов и их частей.
- •Деревья.
- •Ориентированные графы.
- •Графы с помеченными вершинами и рёбрами.
- •Лекция № 18. Теория алгоритмов Понятие алгоритма
- •1.2.1. Основные требования к алгоритмам
- •1.2.2. Машина Тьюринга
- •Универсальная машина Тьюринга
- •1.2.3. Тезис Тьюринга
- •1.3. Граф машина
- •1.3.1. Модель данных
- •1.3.2. Построение моделей алгоритмов в системе graph
- •2. Сложность алгоритмов
- •2.1.Временная и пространственная сложность алгоритма. Классы dtime и dspace
- •2.2. Классы сложности
- •2.2.1. Полиномиальность и эффективность
- •2.2.2. Алгоритмическая сводимость задач
- •3. Алгоритмы и их сложность
- •3.1. Представление абстрактных объектов (последовательностей)
- •3.1.1. Смежное представление последовательностей
- •3.1.2. Связанное представление последовательностей
- •Список вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине "дискретная математика"
Раздел III. Введение в логику. Лекция № 8. Элементы математической логики.
Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.
Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.
В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.
Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.
Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.
Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями
Отрицание. Отрицанием (логическим “не”) высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.
Обозначается Р или .
Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:
-
P
Р
И
Л
Л
И
2) Конъюнкция. Конъюнкцией (логическим “и”) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Обозначается P&Q или РQ.
-
P
Q
P&Q
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией (логическим “или”) двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Обозначается PQ.
-
P
Q
PQ
И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
4) Импликация. Импликацией (логическим следованием) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.
Обозначается PQ (или РQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.
-
P
Q
PQ
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
5) Эквиваленция. Эквиваленцией (логической равносильностью) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.
Обозначается РQ или РQ.
-
P
Q
PQ
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.
Замечание. В дальнейшем мы познакомимся с принципиально иной, более широкой трактовкой тех понятий, которые мы определили в данной лекции. Мы будем их рассматривать уже не как операции над высказываниями, но как некоторые функции. Поясним на следующем примере. Запись можно рассматривать как обозначение бинарной операции умножения переменных и , а, с другой стороны, так же обозначается функция двух переменных .
Пример 1. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы и .
Составим таблицы истинности для каждой формулы:
-
p
r
(pr)
И
И
Л
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
И
Л
Л
-
p
r
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
И
Л
И
И
Л
И
И
Л
Л
И
И
И
И
Данные формулы не являются эквивалентными.
Пример 2. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы и .
Составим таблицы истинности для заданных формул.
-
p
q
r
pq
(pq)r
И
И
И
И
И
И
И
Л
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
И
Л
И
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
p |
q |
r |
pq |
qp |
(pq)(qp) |
(pq)(qp)r |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.
Основные равносильности.
Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности:
A & B B & A; A & A A; A & (B & C) (A & B) & C;
A B B A; A A A; A (B C) (A B) C;
A (B & C) (A B) & (A C); A & (B C) (A & B) (A & C);
A & (A B) A; A (A & B) A; A A; (A & B) A B;
A (A & B) (A & B); A (A B) & (A B);