Корреляционный метод идентификации

Линейный динамический объект с одним входом и одним выходом . В общем случае переменные и являются случайными процессами. Для упрощения полагаем их стационарными. Требуется найти по известным реализациям входа и выхода на некотором интервале оценку оператора ОУ, под которым будем понимать весовую функцию .

Выход ОУ:

. (1)

где – весовая функция объекта, подлежащая оценке.

Так как по условию вход – стационарный случайный процесс, его можно представить в виде постоянного математического ожидания и случайного центрированного процесса :

В установившемся режиме такая структура будет иметь и выход:

Связь между случайным входом и случайным выходом определяется (1). Подставив в (1) интеграл (1) распадется на два интеграла, один из которых (2), а второй определяется математическим ожиданием.

(2)

(2) – случайная составляющая выхода.

Умножим обе части (2) на и осуществим операцию математического ожидания над ними.

В результате получаем уравнение Винера-Хопфа:

(3)

Которое связывает взаимную корреляционную функцию входа и выхода с корреляционной функцией входа.

Для определения весовой функции в соответствии с (3) необходимо иметь информацию о корреляционной функции входа и взаимно корреляционной функции. Необходимо исключить верхний предел равный бесконечности.

– интервал корреляции, т.е. временный сдвиг между сечениями случайного процесса, начиная с которого корреляционная функция близка к 0.

значение случайного процесса при – сечение случайного процесса( )

– функция интеграла между двумя сечениями

Уравнение Винера-Хопфа примет вид (4):

(4)

Оценки корреляционных функций

Эти формулы справедливы для эргодического случайного процесса. Эргодический случайный процесс – стационарный случайный процесс, у которого характеристики, определенные по одной бесконечной реализации совпадают с характеристиками, найденными по множеству реализаций.

Параметрический метод решения уравнения Винера – Хопфа

Весовая функция разлагается по системе известных функций (5):

(5)

(5) подставим в (4) и используя квадратичный критерий идентификации, находятся оценки коэффициентов , которые минимизируют данный критерий.

Корреляционный метод, решаемый на эвм

Уравнение Винера-Хопфа преобразуя его к дискретному времени с периодом дискретизации , – число наблюдений на интервале . Результатом идентификации в этом случае являются оценки дискрет весовой функции , представляющей собой модель ОУ. Интеграл свертки (7) преобразуется к дискретной свертке (8):

(7)

(8)