1. Какая система векторов а₁, ... ,a_n называется линейно зависимой и линейно независимой? Система единичных векторов ортогонального n-мерного векторного пространства линейно зависима или линейно независима?

Система векторов a1, a2,…am называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.

Теорема. Для того, чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой набор чисел мю, из которых хотя бы 1 отлично от нуля, тако что μ1a1 + μ2a2+ …+ μmam=0

Система векторов a1, a2,…am называется линейно независимой, если ни один из векторов этой системы нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

Теорема. Для того, чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы что μ1a1 + μ2a2+ …+ μmam=0 выполнялось только при нулевых значениях всех чисел мю.

Система единичных векторов ортогонального n-мерного векторного пространства линейно

независима, потому что нельзя выразить один вектор через другие.

1. В каком случае вектор b можно назвать линейной комбинацией векторов a1,..., ап?

В-р является линейной комбинацией в-ров , если его можно представить как сумму произведений данных в-ров на какие-либо числа - коэффициенты линейной комбинации.

2. Ввести необходимые векторы и матрицы и записать в векторно-матричной форме следующую задачу (дана задача лп, записанная в обычном виде).

Под линейным программированием (ЛП) понимается раздел теории экстремальных задач, в котором изучаются задачи нахождения максимума или минимума линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств в n-мерном векторном пространстве.

Постановка задачи: Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

(1)

Где все неизвестные могут принимать только неотрицательные значения x₁ 0, x₂,0,…, x_n0, (2) и линейная однородная функция тех же переменных: L = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n.(3)

Требуется среди всех решений системы уравнений (1) найти такое неотрицательное решение. Которое бы линейная форма (3) принимала наименьшее значение.

Обозначим через A матрицу системы линейных уравнений, X и B – матрицы-столбцы (векторы) переменных и свободных членов. Также введём в рассмотрение n-мерный вектор С, компонентами которого служат коэффициенты линейной формы (3) и n-мерный нуль-вектор 0=(0, 0,…0)

Тогда задачу л/п можно представить в следующем виде:

Линейная форма: L=CX

Система линейных уравнений: AX=B

Условие (2): X≥0

2. Дайте определение матрицы, обратной квадратной матрице А . Какое условие является необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы?

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1.

3. СЛАУ решается методом Жордана - Гаусса. Каким образом в процессе решения убедиться в том, что СЛАУ:

1. не имеет решения?

2. имеет уравнение, являющееся линейной комбинацией каких-либо других уравнений системы?

1) Если в процессе решения появляется уравнение вида 0*х₁+0*х₂+…+0*х_n=b_i , где b_i¹0 , то это означает, что система несовместна, т.е. не имеет решения

2) Если в процессе решения левая и правая части i ур-я обращаются в 0, т.е.0=0 Þ данное ур-е явл линейной комбинацией ур-й входящих в эту систему, в этом случае это ур-е исключается из всей системы

6. По каким правилам при нахождении неотрицательных решений СЛАУ выбирается разрешающая неизвестная и разрешающее уравнение?

Решение ( ) системы называют неотрицательным, если все его компоненты α_j неотрицательны.

Если правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными, то соответствующие базисные решения также будут неотрицательными. Следовательно, чтобы получить неотрицательные базисные решения СЛАУ, надо научиться вести процесс исключения неизвестных так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах этого процесса оставались неотрицательными. Для этого следует руководствоваться следующими правилами: 1)Если в СЛАУ имеются отрицательные свободные члены, то все такие уравнения необходимо умножить на (-1); 2) В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную, при которой есть хоть один положительный коэффициент, а затем в качестве разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему среди отношений свободных членов уравнений к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестной в этих уравнениях.

Может случиться, что указанное минимальное отношение достигается при нескольких значениях индекса. Тогда любое из соответствующих им уравнений можно принять за разрешающее. Принято говорить в этом случае, что рассматриваемая СЛАУ является вырожденной.

СЛАУ не будет иметь ни одного неотрицательного решения, если в процессе симплексных преобразований в ней появится уравнение, в котором свободный член строго положителен, а среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного.

Преобразования системы в соответствии с этими правилами называются симплекс-преобразованиями системы.

6. Дайте определения:

1. разрешающей неизвестной,

2. разрешающего уравнения,

4. базисной и свободной переменной,

5. базисного и общего решения.

Разрешающая неизвестная- неизвестная в СЛАУ с коэффициентом отличным от нуля ,которую собираемся исключить из всех уравнений системы, кроме r-го уравнения(разрешающего).

Разрешающее уравнение – уравнение, содержащее разрешающую неизвестную, а остальные уравнения этой системы ее не содержат.

Переменные, коэффициенты при которых образуют минор, отличный от нуля (базисный минор), называются базисными переменными (x1, x2, …, xr), переменные присутствующие только в одном уравнении системы с коэффициентом 1. Остальные переменные xr+1, …, xn называются свободными.

Общее решение- выражения базисных неизвестных через свободные вида

X 1=h1-g1,m+1 - …- g1nxn ,

Xm = gm,m+1xm+1 - … - gmnxn

Среди частных решений системы выделяются базисное , отвечающее нулевым значениям свободных неизвестных : X1 = h1, x2 = h2, …, xm = hm, xm+1 = 0, …,Xn = 0

8. Матрица A = = 1,2,3. Разложите определитель по элементам второго столбца.