4.Равномерная сходимость ряда Фурье: Неравенство Бесселя, Теорема о равномерной

сходимости ряда Фурье.

П.1 Неравенство Бесселя

Теорема. Пусть , - ортогональна на [a, b]. Пусть - коэффициенты Фурье. Тогда

□ =

последнее слагаемое состоит из квадратов и удвоенных попарных произведений, которые равны нулю за счет ортогональности системы

= =

Вспомним формулу:

,

следовательно, частные суммы ограничены:

- сходится. ■

Следствия:

1. 

2. и - сходятся

3. и - сходятся

□ , следовательно - ряд сходится. ■

П.2 Равномерная сходимость ряда Фурье

Теорема (о равномерной сходимости ряда Фурье)

Пусть - 2 -периодическая, непрерывная и кусочно-гладкая на .

Тогда ее тригонометрический ряд Фурье сходится к равномерно на .

□

Рассмотрим

Аналогично

и сходятся (по следствию из неравенства Бесселя) и сходятся.

Рассмотрим

ряд Фурье сходится равномерно к . ■

5.Сходимость семейства функций: определение равномерной сходимости семейства

функций.

6.Собственные интегралы с параметрами: свойства, теорема о дифференцировании

собственного интеграла по параметру, следствие об интеграле с переменными пре-

делами.

§1. Собственные интегралы с параметрами

Пусть . Пусть определена на , и для интегрируема по Риману на , то есть .

Пусть - собственный интеграл с параметром .

Пусть и - непрерывна на . Тогда

1) непрерывна на ;

2) если равномерно по при , то ;

3) .

Теорема 1. Пусть и непрерывны в . Тогда функция - непрерывно дифференцируема на и .

Следовательно,

∎

Следствие.

Пусть . Тогда

∎

7. Равномерная сходимость несобственного интеграла с параметрами: определение,

критерий Коши, признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля.

П.1 Равномерная сходимость

Пусть , . Пусть и , т.е. точка - особая точка несобственного интеграла. Запишем определение сходящегося интеграла:

- сходится при

Определение равномерно сходящегося интеграла:

сходится равномерно (по ) на

Теорема 1. (Критерий Коши)

сходится равномерно на

Необходимость.

Пусть сходится равномерно на _{и Тогда}

Достаточность.

Пусть

сходится при если тогда ∎

П. 2. Признаки равномерной сходимости

Теорема 2. (Признак Вейерштрасса)

Пусть . Пусть определена на такая, что и сходится. Тогда сходится равномерно на _.

Так как - сходится

- сходится равномерно ∎

Теорема 3. (Признак Дирихле)

Пусть:

1) непрерывны по на ;

2) - первообразная по и для (первообразные равномерно ограничены);

3) ;

₄₎ равномерно на при .

Тогда сходится равномерно на .

Так как равномерно

_{Так как}

_то

∎

Признак Абеля

сходится равномерно на , если:

1. непрерывны на ;

2. сходится равномерно на _;

3. монотонна по для ;

4. для , .