Ответы по вычислительной математике

1Опр. : ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на отр. [a;b] если для всех точек этого отр. Выполняется рав-во F’(x)=f(x)

Теорема о разности 2^х первообразных

Лемма : Если φ’(x)=0 [a;b] то φ(x)=С где C=const, для xЄ[a;b]

Док-во:

По ф-ле Лагранжа φ(x)=φ(а)=С

a<b<x

Теор: Разность 2х первообразных одной и той же ф-ции есть вел. пост. ; две первообр. одной и тойже ф-ции отлич. на постоянную

Док-во:

Пусть F(x) и F₁(x) – первообраз. ф-ции f(x) на отр. [a;b]

φ(x)= F(x) - F₁(x)

φ’(x)=[F(x) - F₁(x)]’= F’(x) – F’₁(x)=f(x)-f(x)=0

если φ’(x)=0, то по лемме φ(x)=С на отр. [a;b] , т. е. разность F(x) - F₁(x)=С Ч.Т.Д.

F(x)=F₁(x)+C

Если F(x) –первообр. f(x) на [a;b] , то множ. первообр. F(x)+C

Опр. : неопределённым интегралом от ф-ции f(x)

∫f(x)*dx=F(x)+C назыв. мн-во всех первообразных

f(x) – подинтегральная ф-ция

Св-ва неопределённого интеграла.

1. (∫f(x)dx)’=f(x)

Док-во:

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)+0=f(x) Ч.Т.Д.

2. Интеграл от дифференциала некоторой ф-ции равен самой этой ф-ции + С.

∫dF(x)=∫F’(x)dx=F(x)+C

3. Игнтеграл от алгебраической суммы ф-ций равен алгебр. сумме интегралов.

∫[f1(x)+f2(x)]dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.

∫C*f(x)*dx=C*∫f(x)*dx , где C=const

5. Св-во инвариантности формул интегрирования :

Ф-лы ост. Верными если вместо х поставить u

x=>u(x) dx=>d[u(x)]=u’(x)*dx

∫f(u)*du=F(u)+C

∫f[u(x)]*d[u(x)]=F[u(x)]+C

(∫f[u(x)]*d[u(x)])’=(F[u(x)]+C)’

f[u(x)]*u’(x)=F’[u(x)]*u’(x)

f[u(x)]*u’(x)=f[u(x)]*u’(x)

2Пусть на отр. [a;b] задана непрерывная ф-ция y=f(x)≥0

Вычислим S криволинейной трапеции ограниченной ф-цией y=f(x), осью х, a и b : для этого разобьём [a;b] на n отрезкову a=x0<x1<…<xn=b

Выберем на каждом отр. По точке

∆x_k=x_k-x_k-1

∆S_{k(кр. трап.)}= ∆S_{k (прям.)}=f(x_k)* ∆x_k S_{кр. трап.}~∑∆S_k(прям.)=∑f(x_k)*∆x_k (интегральная сумма)

_b

S_трап.=lim∑f(x_k)*∆x_k=∫ f(x)dx

^{∆xk=>0 a}

если предел не сущ. , не звисит от способа разбиения и выбора точек xk и назыв.

_b

определённым интегралом ∫ f(x)dx

^a

a и b – нижний и верхний предел интегрирования.

4 Свойства определённого интеграла по отрезку.

_{b a b b b}

1. ∫f(x)*dx= - ∫f(x)*dx 2. ∫[f(x)+φ(x)]*dx= ∫f(x)*dx + ∫f(x)*dx

^a _b ^b _n ^{a a a}

∫[f(x)+φ(x)]*dx=lim ∑[f(x_k)+φ(x_k)]*∆x_k

^a _n ^{max ∆xk=>0 k=1} _{b b}

lim∑f(x_k)*∆x_k+ lim∑φ(x_k)*∆x_k=∫f(x)*dx + ∫f(x)*dx

_b ^k=1 _b ^{k=1 a a} _{b c b}

3. ∫C*f(x)*dx= C* ∫f(x)*dx где C=const 4. ∫f(x)*dx=∫f(x)*dx + ∫f(x)*dx

^{a a a a c}

_{b n n1 n c b}

∫f(x)*dx=lim ∑f(x_k)*∆x_k = lim ∑f(x_k)*∆x_k + lim ∑f(x_k)*∆x_k=∫f(x)*dx + ∫f(x)*dx

^{a ∆xk=>0 k=1 ∆xk=>0 k=1 ∆xk=>0 k=n1+1 a c}

5 Теорема об оценке и её геометрический смысл

y=f(x) нерперывна на [a;b] m≤f(x)≤M _b

где m и M – некоторые числа m(b-a)≤ ∫f(x)*dx≤M(b-a)

^a

док-во: для любой точки принадлежащей отр [a;b] m≤f(x_k)≤M x_kЄ[a;b]

m*Δx_k≤ f(x_k)*Δx_k≤Δx_k*M

_{n n n}

∑m*Δx_k≤∑ f(x_k)*Δx_k≤ ∑ M*Δx_k

^{k=1 k=1 k=1} M

_{n n n}

m*∑Δx_k≤∑ f(x_k)*Δx_k≤ M*∑Δx_k

^{k=1 k=1 k=1} m

_n

m*(b-a)≤∑ f(x_k)*Δx_k≤ M*(b-a)

^k=1 a b

_n

m*(b-a)≤lim ∑ f(x_k)*Δx_k≤ M*(b-a)

^k=1

S₁=m*(b-a) S₂=M*(b-a)

6Теор. о среднем значении ф-ции на отрезке.

Опр: задана ф-ция y=f(x) – непрерывная на [a;b] , тогда средним значением f(x) на отр.

_b

F_ср= ∫f(x)*dx/(b-a)

^a

Теор. : если задана ф-ция на отр [a;b] , тогда внутри этого отрезка найдется такая точка C, в которой знач. Ф-ции будет равно её среднему знач на данном отр.

Док-во: _b

m(b-a)≤ ∫f(x)*dx≤M(b-a) m≤f(x)≤M

_a ^a

m≤ ∫f(x)*dx/(b-a)≤M m≤μ≤M

^b

св-ва ф-ций, непрерывных на отр. : ф-ция, непрерывная на отр. Принимает на нем любое промежуточное значение между её наибольшим и наименьшим знач.

f(c)=μ μ=f_срf(c)=f_ср

7Теорема Барроу

_{x x}

∫f(t)*dt=F(x) ( ∫f(t)*dt)’=f(x)

^{a a}

производная интеграла с переменным верхним пределом равна ф-ции от верхнего предела

_x+Δx

F(x+Δx)= ∫f(t)*dt

_x ^a _{b x}

( ∫f(t)*dt)’=lim (F(x+Δx)-F(x))/ Δx=lim( ∫f(t)*dt - ∫f(t)*dt )/Δx=

^a _x ^Δx0_{x+Δx x} ^{Δx0 a a}

=lim (∫f(t)*dt + ∫f(t)*dt - ∫f(t)*dt )/Δx=lim (f(c)*Δx)/Δx=lim f(c)

^{Δx0 a x a Δx0 Δx0}

То lim f(c)=f(x)

^Δx0

8 Частной производной по х от ф-ции z=f(x;y) называется предел отношения частного приращения Δ_хz по х приращению Δx при стремлении Δx к нулю.

∂z/∂x=lim Δ_хz/Δx = lim [f(x ; y+Δy)-f(x;y)]/Δy

^{Δy=>0 Δy=>0}

Частной производной по х от ф-ции z=f(x;y) называется производная по х; вычисленная в предположении , что у – постоянная

Проведем плоскость х=const В сечении этой плоскости с пов-тью получиться линия PT. При данном х рассмотрим некоторую точку M(x;y). Точке М соотв. точка P(x;y;z), принадлеж пов-ти. Дадим приращение Δy , тогда ф-ция получит приращение Δ_уz.

Отношение приращений равно тангенсу угла, образуемого секушей с положительным направлением оси Оу

Частная производная ∂z/∂у численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x;y) плоскостью х=const.

9Сообщив аргументу х приращ ∆x, а аргументу у приращ ∆у, получим для z приращ ∆z, которое назыв полным приращ ф-ции z и определяется ф-лой ∆z=f(x+∆x;y+∆у) – f(x;y).

∆z=dz+ α₁*Δx +α₂*Δy

Пусть точка Мо(х_о;у_о) принадлежит области определения ф-ции f(x;y). Ф-ция z=f(x;y) назыв непрерывной в точке Мо(х_о;у_о), если имеет место рав-во lim f(x;y)=f(x_о;y_о)

^{X=>Xo Y=>Yo}

10Ф-ция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в данной обл.

Линия ограничив. данную обл. назыв границей обл. Точки обл. не лежащие на границе явл внутренними. обл. назыв открытой.

Если вместе с внутренними точками, к области принадл. И точки границы, то обл. замкнутая.

Связной, назыв. обл. , любые 2 точки которой можно соединить линией, целиком лежащей в области.

Св-ва ф-ций 2^х , непрерыв. в огранич. замкнут обл

Ф-ция, непрерывная в огранич замкнут обл, ограничена в этой обл и достигает в ней своих наименьшего и наибольш знач.

В-ция непрерывн , в огранич замкнутой, всязанной обл, принимает в ней промежуточные знач между своим наименьш. и наибольшим

11 Пусть z = f(x;y) , x(u;v) , y(u;v) , тогда z – сложная ф-ция от аргументов х и у.

Производная сложной ф-ции

Пусть ф-ция f(x;y) , x(u;v) , y(u;v) – дифференцируемы

т.к. ф-ции f(x;y) дифференц в т х, у , то это значит что при Δu=>0, то Δ_ux=>0 и Δ_uу=>0

Δ_uz=z_x’* Δ_ux + z_y’* Δ_uy + α₁*Δ_ux +α₂*Δ_uy где α₁*Δ_ux +α₂*Δ_uy - величины бесконечно малые более выс порядка малости чем Δρ=√((Δx)²+(Δy)²)

т. е. α₁=>0 и α₂=>0 при Δ_ux=>0 и Δ_uy=>0

частная производная :

z’_u=lim Δ_uz/Δu=lim (z’_x*Δ_ux + z’_y*Δ_uy + α₁*Δ_ux + α₂*Δ_uy )/Δu=

^{Δu0 Δu0}

z’_x*lim Δ_ux/Δu + z’_y*lim Δ_uy/Δy + lim α₁*lim Δ_ux/Δu + lim α₂*lim Δ_uy/Δu

^{Δu0 Δu0 Δu0 Δu0 Δu0 Δu0}

= z’_x* x’_u + z’_y y’_u

(при Δu0 , то z’_x и z’_y – постоянные)

∂z/∂u=∂z/∂x*∂x/∂u + ∂z/∂y*∂y/∂u ;

∂z/∂v=∂z/∂x*∂x/∂v + ∂z/∂y*∂y/∂v ;

12 Ф-ция z=f(x;y), полное приращение которое в т. х; у , может быть представлено в виде суммы 2^х слаг. (выражения линейного относительно Δx и Δy) и величины бесконечно малой более выс порядка чем Δρ, называется дифференцируемой в т. (х; у), а главная линейная часть приращения назыв её дифференциалом Δz=(A*Δx+B*Δy)+0(Δρ)

Δz=(A*Δx+B*Δy)+α₁*Δx +α₂*Δy

α₁=>0 и α₂=>0 при Δx=>0 и Δy=>0

dz=A*Δx+B*Δy

дифференциал – главная часть приращения ф-ции Δz – dz=0

13если ф-ция дифференцируема в данной точке то она непрерывна в этой точке

Lim Δz=0

^{Δx=>0 Δy=>0}

След по 2^ому опр непрерывности данная ф-ция непрерывна

Если ф-ция равная z=f(x;y) имеет в т. дифференциал, то в этой т. сущ частные производные, причём A=∂z/∂x B=∂z/∂у

dz=∂z/∂x*Δx+∂z/∂у*Δy

док-во

P(x;y) P(x+Δx;y)

y=const

тогда Δρ=|Δx|

Δ_xz=A*Δx+0(|Δx|)

∂z/∂x=lim Δ_xz/Δx=lim[A*Δx+0(|Δx|)]/Δx=A+lim0(|Δx|)/Δx=A

A=∂z/∂x , подобно B=∂z/∂y

Если сущ обе производные в данной т , это НЕ значит что сущ дифференциал

14Теорема: если в точке (х;у) частные производные d_хz и d_yz, ф-ции z=f(x;y), сущ и непрерывны, то в этой точке ф-ция имеет дифференциал. т.к. по условию частные производные d_хz и d_yz непрерывны , то они определ. в некоторой её окрест.

Δz=f(x+Δх ; y+Δy)-f(x;y)= f(x+Δх ; y+Δy) - f(x;y+Δy)+f(x;y+Δy)-f(x;y)

f(x+Δх ; y+Δy) - f(x;y+Δy)= f ’_x(x;y+Δy)* Δx

lim f ’_x(x;y+Δy)=f ’_x(x;y)

^{Δx=>0 Δy=>0}

Здесь по теор. О разности между ф-цией и её пределом:

f ’_x(x;y)=> f ’_x(x;y+Δy)= f ’_x(x;y)+ α₁ где α₁=>0 и Δx=>0

f(x;y+Δy)-f(x;y)< f ’_y(x;y)* Δy y<y<y+Δy

Δz=)=f ’_x(x;y+Δy)*Δx + f ’_y(x;y)*Δy + α₁*Δx +α₂*Δy

α₁=>0 и α₂=>0 при Δx=>0 и Δу=>0

Δz=)=f ’_x(x;y+Δy)*Δx + f ’_y(x;y)*Δy=∂z/∂x*Δx+∂z/∂у*Δy

Δz=dz + 0(Δρ)

15 Теорема: если в точке (х;у) частные производные d_хz и d_yz, ф-ции z=f(x;y), сущ и непрерывны, то в этой точке ф-ция имеет дифференциал. т.к. по условию частные производные d_хz и d_yz непрерывны , то они определ. в некоторой её окрест.

Δz=f(x+Δх ; y+Δy)-f(x;y)= f(x+Δх ; y+Δy) - f(x;y+Δy)+f(x;y+Δy)-f(x;y)

f(x+Δх ; y+Δy) - f(x;y+Δy)= f ’_x(x;y+Δy)* Δx

lim f ’_x(x;y+Δy)=f ’_x(x;y)

^{Δx=>0 Δy=>0}

Здесь по теор. О разности между ф-цией и её пределом:

f ’_x(x;y)=> f ’_x(x;y+Δy)= f ’_x(x;y)+ α₁ где α₁=>0 и Δx=>0

f(x;y+Δy)-f(x;y)< f ’_y(x;y)* Δy y<y<y+Δy

Δz=)=f ’_x(x;y+Δy)*Δx + f ’_y(x;y)*Δy + α₁*Δx +α₂*Δy

α₁=>0 и α₂=>0 при Δx=>0 и Δу=>0

Δz=)=f ’_x(x;y+Δy)*Δx + f ’_y(x;y)*Δy=∂z/∂x*Δx+∂z/∂у*Δy

Δz=dz + 0(Δρ)

16Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную её точку P, назыв касательной плоскостью к поверхности в точке P. ∂F/∂x|_Mo*(X-Xo) + ∂F/∂y|_Mo*(Y-Yo) + ∂F/∂z|_Mo*(Z-Zo)=0 –Ур-е касат пл-ти

Прямая, проведенная через точку P(x;y;z) поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

(X-Xo)/∂F/∂x|_Mo = (Y-Yo)/∂F/∂y|_Mo = (Z-Zo)/∂F/∂z|_Mo – Ур-е нормали

Теор: напишем ур-е касательной пл-ти к пов-ти в обыкновенной точке. Т. к. эта пл-ть перпендикулярна к вектору N=∂F/∂x*j + ∂F/∂y*j + ∂F/∂z*k , то след её Ур-е имеет вид

∂F/∂x*(X-Xo) + ∂F/∂y*(Y-Yo) + ∂F/∂z*(Z-Zo)=0

если Ур-е пов-ти задано в параметрической форме z=f(x;y) или z-f(x;y)=0

то ∂F/∂x= - ∂f/∂x ; ∂F/∂y= - ∂f/∂y ; ∂F/∂z=1

и Ур-е касательной пл-ти в этом случае примет вид

(Z-Zo)= ∂f/∂x*(X-Xo) + ∂f/∂y*(Y-Yo) т. е.

(Z-Zo)= ∂f/∂x*Δx + ∂f/∂y*Δy  Z-Zo=dz

19 мы говорим, что ф-ция z=f(x;y) имеет максимум в точке Mo(x_o;y_o) если f(x_o;y_o)>f(x;y) для всех точек (x;y) , достаточно близких к точке (x_o;y_o) и отличных от неё.

Аналогично минимум если f(x_o;y_o)<f(x;y)

Теор: Если ф-ция z=f(x;y) достигает экстремума при х=х_о ; у=у_о , то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует

Док-во: пусть Рo(x_o;y_o) – точка маск.

f(x_o;y_o)>f(x;y)

при y=y_o => f(x_o;y_o)>f(x;y_о)

пл-ть х=х_о => f(x_o;y_o)>f(x_о;y)

ф-ции f(x;y_о) и f(x_о;y) – это ф-ции одной переменной и к этим ф-циям применим признак экстремума

Рo(x_o;y_o) – точка маск. => f_x’(x_o;y_o)=0 или не сущ. f_y’(x_o;y_o)=0 или не сущ.

20ф-ция определена непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого, второго порядка в т. Po(x_o;y_o) z’_x(x_o;y_o)=0 z’_y(x_o;y_o)=0

A=∂²z/∂x²|p_o B=∂²z/(∂x*∂y)|p_o C=∂²z/∂y²|p_o

1) Δ=A*C – B² > 0 , то в точке Po(x_o;y_o) экстремум есть

если A>0 – мин. A<0 – макс.

2) Δ=A*C – B² > 0 , то экстремума нет

3) Δ=A*C – B² = 0 , то нужно дополнительное исследование

21Производная по направлению

PoP₁=ΔL=√(Δx)²+(Δy)²

т.к. ф-ция дифференц в т. Po то Δz= z’_x*Δx + z’_y*Δy + 0(ΔL)

где 0(ΔL) – величина бесконечно малая более выс порядка, чем ΔL, при ΔL0

z’=∂z/∂l=lim Δz/Δl = lim z’_x*Δx/Δl + lim z’_y*Δy/Δl + lim 0(ΔL)/ Δl

^{Δl0 Δl0 Δl0 Δl0}

Δx/Δl=Cos α Δy/Δl=Sin α

z’_l= z’_x*Cos α + z’_y* Sin α

∂z*∂l= (∂z/∂x)*Cos α + (∂z/∂y)*Sin α

Задана ф-ция 3^х переменных.

Направляющие Cos это Сos углов наклона вектора S к осям координат.

Δu= u’_x*Δx + u’_y*Δy + u’_z*Δz + 0(ΔS)

ΔS=√(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²

0(ΔS) – б.м.б.в.п.м.

Δu/Δs = u’_x*Δx/Δs + u’_y*Δy/Δs + u’_z*Δz/Δs + 0(ΔS)/Δs

Lim Δu/Δs = lim u’_x*Δx/Δs + lim u’_y*Δy/Δs + lim u’_z*Δz/Δs + lim 0(ΔS)/Δs

^{Δs0 Δs0 Δs0 Δs0 Δs0}

∂u*∂s= (∂u/∂x)*Cos α + (∂u/∂y)*Cos β + (∂u/∂z)*Cos γ

22Градиент.

Пусть в некоторой обл. задана дифференциал ф-ция u= u(x;y;z),

и в любой точке можно опр. вектор grad u

Это вектор коорд.которого равны знач. Частных производных

grad u=∂u*∂x*i + ∂u*∂y*j + ∂u*∂z*k

grad u={∂u*∂x ; ∂u*∂y ; ∂u*∂z}

Теорема: производная по напр. Равна скалярному произведению вектора градиента на ед. вектор. по направлению

∂u*∂s= (∂u/∂x)*Cos α + (∂u/∂y)*Cos β + (∂u/∂z)*Cos γ s

s^o={ Cos α ; Cos β ; Cos γ } _φ

Cos α =x/|a^o| ;Cos β=x/|a^o| ; Cos γ=x/|a^o| grad u

Производная по напр. равняется проекции градиента на данное направление

a*b= |a^o|*пр_ab

Производная по направлению равна модулю градиента умнож. на Cos угла между grad u и данным напр.

∂u*∂s=(grad u)* s^o

Производная по направлению ∂u*∂s принимает своё наиб. Знач когда Cos φ =1 , т.е. φ=0^о

Т.е. в том случае когда направл. S, совпадает с направл. grad u. Значит в этом направл. Рост ф-ции наибольший.

Значит вектор grad u задает направл. в котором ф-ция растет быстрее всего.

23Дифференц. ур-ем назыв. ур-е связ. независ. перемен. х, неизвестную ф-цию у(х) и её производные(дифференциал).

Порядком дифференц. ур-я, назыв. порядок старшей производной, входящей в данное ур-е y’’’+y’*e^x+y=4*Cos(x)

В общем виде:

F(x;y;y’;y’’;…;y⁽ⁿ⁾)=0

Разрешенное относительно старшей производн.

yⁿ=f(x;y;y’;…;y^(n-1))

Решением дифференциал. ур-я явл. ф-ция, котороя при подстановке в данное ур-е, превращает его в тождество.

График решения дифференциал. Ур-я, это его интегральная кривая.

y’=2*x y=x²+C

Дифференциал. ур-е 1^ого порядка

F(x;y;y’)=0

Или если можно разрешить относит. y’

y’=f(x;y)

Ур-е 1ого порядка имеет бесчисленное множество решений

y=φ(x;C) – общее реш. С – произвол конст.

Частное реш. Дифференц. Ур-я это реш., получающееся из общего реш. При опр. знач произвольной постоянной «С».

Чтобы из множества решений выделить одно нужно нач. усл.

y|_x=xo=y_o

задача отыскания реш. , удовл. нач. усл. назыв. «Задачей Коши»

Геометрич смысл. Задачи Коши заключается в том, чтобы найти интегральную кривую, проходящую через т. с корд. (x_o;y_o)

В общее решение подставляется нач усл. y(x_o)=y_o

y_o=φ(x_o;C) из Ур-я находим С и это знач подставл в общее реш.

y=φ(x_o;C) – частное решение задачи Коши

24Теор. Коши

Теорема: если в дифференц. Ур-е y’=f(x;y), f(x;y) - непрерывна

В некоторой плоской обл. D, содержащей т. Mo(x_o;y_o), то сущ. решение этого дифференц. ур-я, удовлетв. нач. усл. y(x_o)=y_o

Если, кроме того, в этой обл. непрерывна производная ∂t/∂y, то решение единственно

Геометрич. смысл. : если в некоторой обл. на пл-ти, выполн.

усл.теор Коши, то через любую точку этой обл. проходит одна

интегральная кривая данного дифференц. ур-я.

25 ур-е с разделяющимися переменными.

пусть есть ф-ция dy/dx=f₁(x)*f₂(y)

f₁(x) – ф-ция от х f₂(y) – ф-ция от у

преобразованное Ур-е можно считать равенством двух дифференциалов

∫dy/f₂(y)=∫ f₁(x)dx +C

проинтегрировав получили общий интеграл исходного ур-я

M(x)dx + N(y)dy=0 –ур-е с разделёнными переменными

M₁(x)*N₁(y)dx + N₂(y)*M₂(x)dy=0 – ур-е с разделяющимися переменными

Оно может быть приведено к ур-ю с разделёнными переменными

Однородные ур-я первого порядка

Ф-ция назыв однородной ф-цией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом λ справедливо тождество

f(λx; λy) = λⁿ f(x;y)

dy/dx=f(x;y) (1) назыв однородным относительно х и у, если ф-ция f(x;y) есть однородная ф-ция нулевого измерения относит х и у.

РЕШ: по усл f(λx; λy) = f(x;y) пусть λ=1/x тогда f(x;y)=f(1;y/x)

и Ур-е (1) имеет вид dy/dx=f(1;y/x)

Пусть u=y/x т.е. y=ux  dy/dx=u + (du/dx)*x  f(1;u)= u + (du/dx)*xdu/( f(1;u) – u)=dx/x

Это Ур-е с разделяющ переменными, проинтегрировав получим решение

26Опр. Линейным диф. Ур-ем 1-ого порядка назыв Ур-е, линейное относительно неизвестной ф-ции и её производной. Вида dy/dx + P(x)*y=Q(x)

РЕШ представим y в виде y=u(x)*v(x) (1)

Одна из которых произвольная а другая определяется на основании двух других

y’=u*dv/dx+v*(du/dx) подставив в Ур-е получим u*dv/dx+v*(du/dx) + P*u*v=Q

или u(dv/dx +P*v) +v*(du/dx)=Q (2) пусть dv/dx +P*v=0 разделяя переменные найдем v(x)

подставив v(x) в Ур-е (2) получим v(x)*(du/dx)=Q(x)

от сюда найдем u , подставим u и v в Ур-е (1) найдем у

27 dу/dx + P(x)y=Q(x)yⁿ -Ур-е Бернулли если n≠ 0 ;1

оно сводится к линейному ;

разделим обе части Ур-я на yⁿ  y^-n*(dy/dx) +Py^-n+1=Q (1)

пусть z=y^-n+1 тогда dz/dx=(-n+1)y^-n*(dy/dx)

домножим Ур-е (1) на (–n+1) и подставив в Ур-е (1) получим линейное Ур-е dz/dx + (-n+1)Pz=(-n+1)*Q ; найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение y^-n+1 ,

получим общий интерграл Ур-я Бернулли.

28 Геометрический смысл Ур-ей данного порядка. Поле направлений. Приближенное построение интегральных кривых.

y’(x_o)=k_кас=tg α

y’=f(x;y) в любой точке (x_o;y_o) мы можем найти значение производной искомого решения а значит узнать напр касат к графику этого реш.

Дифференц Ур-е в каждой точке задает напр. касат к интеграл. Кривой, проходящей через эту точку ; и если в точках пл-ти небольшим отрезком прямой изобразить напр касат к интегральным кривым, то мы получим поле направления этого Ур-я; а зная поля направлений можно приближенно построить интегральные кривые.

При реш задачи Коши

М

у_о

х_о

изоклина – геометрическое место точек в которых поле направлений имеет постоянное направление

y’=f(x;y) y’=const ; f(x;y)=const ; пусть k=const

f(x;y)=k y’= -y/x –y/x=k y= -k*x

Метод Эйлера

y’=f(x;y) [x_o;x]

y(x_o)=y_o

h=(x-x_o)/n ; x_o ; x₁=x_o+h ; x₂=x_o+2h

y_k=y(x_k)

y’(x_k)=lim[y(x_k+h)-y(x_k)]/h=lim[y_k+1-y_k]/h

^{h0 h0}

[y_k+1-y_k]/h=f(x_k;y_k)

y_k+1=y_k+h*f(x_k;y_k)

y₁=y₀+h*f(x₀;y₀)

y₂=y₁+h*f(x₁;y₁)

M₂

y₁ M₁

y₀ M₀

x₀ x₁

Кривую, мы заменяем отрезком М₀М₁; руководствуясь полем направлений

29 Дифференциальные Ур-я 2^ого и высших порядков.

F(x;y;y’;y’’)=0

Y=φ(x;C1;C2) – общее решение

Задача Коши.

Найти частные решения дифферренц Ур-я

?????

Теорема о существовании и единственности реш задачи Коши для ур-ей 2^ого порядка.

Если правая часть диффер. Ур-я y’’=f(x;y;y’) непрерывна в некоторой обл. D, содержащей точку (x₀;y₀;y₁) и также непрерывны такие частные производные удовлетворяющие нач. данным y(x₀)=y₀ ; y(x₀)=y₁ то реш существует и единственно

Диффер Ур-е n^ого порядка

F(x;y;y’;…;y⁽ⁿ⁾)=0 (4)

y⁽ⁿ⁾=f(x;y;y’;…;y^(n-1)) (5)

Начальные условия

y(x₀)=y₀

y’(x₀)=y₁

_{……………}

y^(n-1)(x₀)=y_n-1

Общим решением дифференциал. Ур-я n^ого порядка называется ф-ция зависящая от Х и n произвол постаянных; и удовлетворяющ. 2^м усл : 1) эта ф-ция удовлетворяет диффер. Ур-ю(5) , т.е при подстановке в это Ур-е даёт тождество. 2) из этой ф-ции можно получить частное решение : определить с помощью этих нач условий

30 если есть Ур-е вида f(y;y’;y’’)=0 то y’ можно представить в виде ф-ции P(y)

P(y)=y’; следовательно y’’=P’_y далее решаем диффер Ур-е первого порядка.

Если есть Ур-е вида f(x;y’;y’’)=0 то y’=z, следовательно y’’=z’ и решаем дифференц Ур-е вида f(x;z;z’)=0

31 L(y)=y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)*y

L(y)=0

Док-во

L(y₁+y₂)=(y₁+y₂)⁽ⁿ⁾+a₁(x)*(y₁+y₂)^(n-1)+…+a_n(x)*(y₁+y₂)=y₁⁽ⁿ⁾+y₂⁽ⁿ⁾+a₁(x)*y₁^(n-1)+a₁(x)*y₂^(n-1)+…a_n(x)*y₁+a_n(x)*y₂=y₁⁽ⁿ⁾+a₁(x)*y₁^(n-1)+…+a_n(x)*y₁+y₂⁽ⁿ⁾+a₁(x)y₂^(n-1)+…+a_n(x)*y₂=L(y₁)+L(y₂)]

1)Постоянный множитель можно выносить за знак производной L(C*y)=C*L(y)

2)Выражение вида С1*y1+С2*y2+…+Cn*yn , где С1;С2;…Сn- постоянные ,называется линейной комбинацией.

Линейный диффер оператор от ф-ции, равен линейной комбинации этих ф-ций

3) L(C₁y₁+C₂y₂+…C_ny_n)=C₁L(y₁)+C₂L(y₂)+…C_nL(y₂)

32 Однородные линейные диффер Ур-я

y⁽ⁿ⁾+a₁(x)*y^(n-1)+…a_n(x)y=0 (1) или L(y)=0 (2)

Св-ва решений однородного линейного диффер Ур-я, сумма конечного числа решений однородного диффер Ур-я, также является решением этого Ур-я.

y₁ и y₂ –решения Ур-я (1) :

L(y₁)=0 и L(y₂)=0

L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)=0  y1+y2 –решение ру-я (1)

По первому св-ву линейного диффер оператора

2)Св-во: произведение решения линейного диффер Ур-я на константу также является реш этого Ур-я.

3)Линейная комбинация решений линейного однородного диффер Ур-я является реш этого Ур-я

y1;y2;…yn – решения (1), то C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n – решение (1)

Линейно-Зависимые и независимые ф-ции на интервале.

Y1(x);y2(x);…:yn(x) – линейно зависима на интегвале (a; b) исли хоть одна из ф-ций может быть представлена в виде комбинации остальных.

y_n(x)=C₁*y₁(x)+C₂*y₂(x)+…+C_n-1*y_n-1(x)

X€ (a;b) C₁;C₂ ;…; C_n-1 –const

Ф-ция (2) назыв линейно независимой на интервале (a;b), если ни одну из этих ф-ций нельзя представить как линейную комбинацию остальных

Определитель Вронского

Пусть y₁(x);y₂(x);…;y_n(x) имеют непрерывные производные до порядка (n-1), тогда

W(y₁;y₂;…y_n)=| y₁(x);y₂(x);…;y_n(x) |

\ | y₁’(x);y₂’(x);…;y_n’(x) |

определитель |……………………. |

Вронского | y₁^(n-1)(x);_y2^(n-1)(x);…;y_n^(n-1)(x) |

33 Теорема о структуре общего решения

y⁽ⁿ⁾+a₁*y^(n-1)+…+a_ny=0 (1) – линейное диффер однородное Ур-е n^ого порядка

у₁(х) ; у₂(х) ;…; у_n(х) –фундаментальная система решений диффер сист Ур-ей n^ого порядка.

y=C₁*y₁(x) + C₂*y₂(x)+…+ C_n*y_n(x) (5)

где С1;C2; …;Cn –пост.

Ф-ция (5) зависит от n произвол пост и по 3^ему св-ву реш. линейного диффер Ур-я является реш линейного однородного диффер Ур-я n^ого порядка