Вопросы к экзамену

По курсу «Процессы массового обслуживания и стохастические модели в экономике»

2011/2012 уч. год

Летняя экзаменационная сессия

Лектор- Доцент Шнурков П.В.

Раздел 1. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний.

1. Определения марковского процесса с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. Классический вариант определения. Системы событий, порожденные траекториями. Вариант марковского свойства, основанный на условной независимости систем событий, связанных с траекториями процесса.

2. Вероятности перехода марковского процесса и их свойства. Уравнение Колмогорова - Чепмена. Вероятностное содержание свойств вероятностей перехода.

3. Представление совместного распределения значений марковского процесса в различные моменты времени. P(ξ(t₁)=i₁,…, ξ(t_n)=i_n | ξ(t₀)=i₀) , 0< t₀ < t₁ <…< t_n через переходные вероятности. Конечномерные распределения марковского процесса. P(ξ(t₁)ϵ B₁,…, ξ(t_n)ϵ B_n | ξ(t₀)= i₀).

4. Однородные марковские процессы. Инфинитезимальные характеристики процесса (интенсивности перехода и выхода). Теоремы существования инфинитезимальных характеристик. Связь интенсивностей перехода и выхода. Свойство регулярности марковского процесса.

5. Условие “непрерывности в нуле” для вероятности перехода однородного марковского процесса. Формальный смысл условия непрерывности в нуле и его общее вероятностное содержание.

6. Устойчивые, мгновенные и поглощающие состояния марковского процесса. Особенности поведения процессов, обладающих соответствующими состояниями. Свойство регулярности в широком смысле.

7. Дифференциальные уравнения Колмогорова относительно переходных вероятностей (прямая и обратная системы). Вывод уравнений Колмогорова для процесса с конечным множеством состояний.

8. Теорема о достаточных условиях выполнения обратной системы дифференциальных уравнений Колмогорова для процесса со счетным множеством состояний (без доказательства).

9. Теорема о достаточных условиях выполнения прямой системы дифференциальных уравнений Колмогорова для процесса со счетным множеством состояний (без доказательства).

10. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Алгебраические уравнения для предельного (стационарного) распределения.

11. Распределение времени пребывания марковского процесса в фиксированном состоянии kϵX (Х-множество состояний). Свойство отсутствия последействия для экспоненциального распределения, его формальное выражение и вероятностное содержание. Связь марковского свойства случайного процесса в произвольный фиксированный момент времени и свойства отсутствия последействия для экспоненциального распределения.

12. Вероятности мгновенных переходов (скачков) марковского процесса и их связь с вероятностями переходов вложенной цепи маркова.

13. Конструктивное определение марковского процесса с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. Стохастическое моделирование траекторий марковского процесса.

14. Процесс гибели и размножения (ПГР). Определение и основные свойства ПГР как однородного марковского процесса. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

15. Предельное (стационарное) распределение вероятностей состояний ПГР. Уравнения относительно предельного распределения. Вывод формул для стационарных вероятностей ПГР. Теорема о необходимых и достаточных условиях существования предельного (стационарного) распределения.

16. Пуассоновский процесс. Определение пуассоновского процесса как однородного марковского процесса с заданными свойствами вероятностей перехода. Вероятностные характеристики пуассоновского процесса. Свойства траекторий пуассоновского процесса.

17. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний пуассоновского процесса. Решение системы уравнений и вывод формул для вероятностей состояний в произвольный момент времени.

18. Уравнения Колмогорова для переходных вероятностей пуассоновского процесса. Решение системы уравнений и вывод формул для вероятностей перехода за время t, t >0.

19. Определение пуассоновского процесса как случайного процесса с независимыми приращениями. Задание конечномерных распределений пуассоновского процесса. Теорема о свойствах траекторий пуассоновского процесса (без доказательства). Комментарий к формулировке теоремы.