23

2. Оптика кристаллов

2.1. Описание анизотропной среды

В этом разделе будут рассмотрены особенности прохождения све­та через среду, обладающую электрической анизотропией. В естествен­ных условиях к таким средам относятся прежде всего кристаллы. Для по­добных сред материальные уравнения, связывающие векторы и , имеют вид, отличный от используемых для изотропных сред ( ):

(2.1)

Девять величин ; образуют тензор диэлектрической про­ницаемости анизотропной среды. В более компактной форме выражения (2.1) можно записать так:

, (2.2)

Плотность электрической энергии в среде выражается формулой

. (2.3)

Изменяя обозначения индексов суммирования ( ), запишем выражение (2.3) в виде

; (2.4)

вычитая почленно (2.3) из (2.4), получим

.

Поскольку проекции , независимы и в общем случае не равны нулю, из последнего выражения заключаем, что , т.е. тензор ди­электрической проницаемости симметричен. Как известно из курса мате­матики, такой тензор поворотом системы координат может быть приведен к диагональному виду, тогда в этой системе координат связь между век­торами и примет наиболее простой вид:

. (2.5)

Такую систему координат в кристалле называют системой главных диэлектрических осей, а соответствующие значения , и - главными диэлектрическими проницаемостями кристалла. В этой системе объем­ная плотность электрической энергии может быть выражена двумя раз­личными и наиболее простыми формулами:

. (2.6)

В

Рис.8

ыражения (2.5) показывают, что и в общем случае имеют различные направления (рис. 8), если только не совпадает с одной из главных осей или все главные диэлектрические проницаемости не равны друг другу (в последнем случае среда является изотропной).

2.2. Структура плоской гармонической волны в кристалле

Рассмотрим плоскую гармоническую волну с частотой , распро­страняющуюся в кристалле в направлении . Тогда векторы , , и такой волны можно записать в виде

, , , , (2.7)

где , , - амплитуды волн; - пространственно-вре­менной параметр, характеризующий плоскую волну (фаза волны).

Подставим выражения (2.7) в уравнения Максвелла ( 1.1) - (1.4), при этом учтем, что действие операторов и на векторы поля равно­сильно умножению на эти векторы величин и соответ­ственно. Тогда после преобразований получим

(2.8)

где - показатель преломления.

Из уравнения (2.8) видно, что век­тор и, следовательно, вектор перпендикулярны векторам , и , которые поэтому должны быть компланарны. Кроме того, вектор ортогонален . Следовательно, векторы и перпендикулярны к на­правлению распространения волны , а вектор составляет с ним неко­торый угол, в общем случае отличный от прямого (рис. 9).

Н

Рис.9

аправление распространения электромагнитной энергии, как из­вестно, характеризуется вектором Пойнтинга: .

Введем единичный вектор , характеризующий это направле­ние, тогда получим, что векторы , и с одной стороны, и , и -с другой, образуют ортогональные тройки векторов с общим вектором , повернутые относительно друг друга на угол . Таким образом, в анизо­тропной среде в отличие от изотропной направление распространения энергии (луча) не совпадает с направлением распространения волно­вого фронта . Вместе с тем равенство плотностей электрической и маг­нитной энергий сох­раняется. Действительно, из (2.8) получим

; ,

откуда видно, что, согласно свойствам смешанного произведения векторов, . Полная плотность электромагнитной энергии

.(2.9)

Из последнего выражения получим

, (2.10)

где - фазовая скорость волны.

Сравнив (2.10) и (1.13), можно заметить, что величина

(2.11)

характеризует скорость распространения энергии; поэтому она на­зывается групповой, или лучевой, скоростью. Очевидно, что отношение определяет лучевой, или групповой, показатель преломления, ко­торый связан с фазовым как

.