28. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Распределение Фишера-Снедекора.

По независимым выборкам, объемы которых n₁, n₂, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии s²_х и s²_у. Требуется сравнить эти дисперсии.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)>D(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия(отношение большей исправленной дисперсии к меньшей) F_набл=S²_б/S²_м и по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора, по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k₁=n₁—1, k₂ = n₂—1 найти критическую точку F_кр(α; k₁; k₂). Если F_набл <F_кр— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_набл >F_кр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе H₁:D(X)≠D(Y) критическую точку F_кр (а/2; k₁; k₂) ищут по уровню значимости а/2(вдвое меньшему заданного) и числам степеней свободы k₁ и k₂.

Распределение Фишера-Снедекора

f_k,m=(Х²_k/k)/(X²_m/m) k, m – число степеней свободы

29. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсей нормальной совокупности. Критерий Стьюдента.

Обозначим через n объем выборки, по которой найдена исправленная дисперсия s².

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀:Ϭ²=Ϭ₀² о равенстве неизвестной генеральной дисперсии Ϭ² гипотетическому (предполагаемому) значению Ϭ₀² при конкурирующей гипотезе H₁: Ϭ²> Ϭ₀², надо вычислить наблюдаемое значение критерия

Χ²_набл=((n-1)*s²)/ Ϭ₀² и по таблице критических точек распределения Χ² по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n—1 найти критическую точку Х_кр(α; k). Если Х_набл<Х_кр—нет оснований

отвергнуть нулевую гипотезу. Если Х_набл > Х_кр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе H₁: Ϭ²≠Ϭ₀² находят левую Х²_{лев. кр}(1—α/2; k) и правую Х²_{прав.кр}(а/2;k) критические точки. Если Х²_{лев. кр}<Х²_набл<Х²_{прав. кр} —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Х²_набл<Х²_{лев, кр} или Х²_набл>Х²_{прав. кр} —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе H₁: Ϭ²<Ϭ₀² находят критическую точку Х²_кр(1—α; k). Если Х²_набл>Х²_кр(1—α; k)—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Х²_набл < Х²_кр(1—α; k)— нулевую гипотезу отвергают.

З а м е ч а н и е . Если число степеней свободы k > 30, то критическую

точку Х²_кр(α; k) можно найти из равенства Уилсона—Гильферти:

где z_α находят, используя функцию Лапласа (приложение 2), из равенства Ф(z_α)=(1-2α)/2 .

t-критерий Стьюдента — общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

30. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны. Выборки независимы. Функция Лапласа.

30.1

Обозначим через пит объемы больших (п > 30, m > 30) независимых выборок, по которым найдены соответствующие выборочные средние x и у. Генеральные дисперсии D (X) и D (У) известны.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а (альфа)проверить нулевую гипотезу Но: М(Х) = М(У) о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями (в случае больших выборок) при конкурирующей гипотезе Н1: М (X) =\ М (У), надо вычислить наблюдаемое значение критерия Zнабл. :

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку Zкр. из равенства

Ф(Zкр) = ( 1 - а ) / 2 . (a-альфа)

Если I Zнабл I < Zкр. — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если |ZHa6лl > Zкр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе H1: М (X) > М (Y) находят критическую точку Zkр. по таблице функции Лапласа из равенства

Ф(Zкр) = ( 1 - 2 а ) / 2 . (а-альфа)

Если Zнабл < Zкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Zнабл > Zкр — нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе H1: М (X) < М (У) находят вспомогательную точкуъ Zкр. по правилу 2.

Если Zнабл > - Zкр — нет оснований отвергать нулевую гипотезу .

Если Zнабл < Zкр —нулевую гипотезу отвергают.

1. Функция Лапласа.

Локальная теорема Лапласа

Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности),приближенно равна (тем точнее, чем больше п) :

Таблица функции q>(x) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей [функция ф>(х) четная, следовательно, ф(— х) =ф(х).

Интегральная теорема Лапласа .

 Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P(k₁;k₂)=Φ(x'') - Φ(x')

Здесь

-функция Лапласа.

Таблица функции Лапласа для положительных значений х(0< х < 5 ) приведена в приложении 2; для значений х> 5 полагают Ф(х)а=0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу учитывая, что функция Лапласа нечетная [Ф(—х) = —Ф(х) ]

30.3.

Выборка или выборочная совокупность — множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании.

При сравнении двух (и более) выборок важным параметром является их зависимость. Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X соответствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого на выборках признака), такие выборки называются зависимыми. Примеры зависимых выборок:

• пары близнецов,

• два измерения какого-либо признака до и после экспериментального воздействия,

• мужья и жёны

• и т. п.

В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми, например:

• мужчины и женщины,

• психологи и математики.

Соответственно, зависимые выборки всегда имеют одинаковый объём, а объём независимых может отличаться.

31. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности, дисперсии генеральной совокупности известна. Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а(альфа) проверить нулевую гипотезу Hо: А= Ао ,о равенстве генеральной средней а нормальной совокупности с известной дисперсией (сигма в квадрате) гипотетическому (предполагаемому) значению Ао при конкурирующей гипотезе Н1=: А =\ Ао, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку Uкр. двусторонней критической области из равенства

Ф(Uкр) = ( 1 - а ) / 2.

Если I Uнабл I < Uкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если I Uнабл I > Uкр — нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. при конкурирующей гипотезе Н1: А >Ао критическую точку правосторонней критической области находят из равенства :Ф(Uкр) = ( 1 - 2 а ) / 2.

Если Uнабл < Uкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Uнабл > Uкр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе H1 :А < Ао сначала находят вспомогательную критическую точку Uкр. пo правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области :Uкр = — Uкр

Если Uнабл > — Uк.р — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Uнабл <—Uкр—нулевую гипотезу отвергают.