- •1. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность
- •2. Частные производные
- •3.Частные производные сложной функции.
- •Неявные функции и их дифференцирование.
- •4. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
- •8. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
- •12. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
- •14. Замена переменных в определенном интеграле.
- •15. Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.
- •17. Несобственные интегралы второго рода.
- •18. Вычисление площадей плоских фигур.В декартовой системе координат
- •20. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •26. Линейные ду 1 порядка: однор и неоднор, метод Бернули
- •Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
- •Свойства криволинейного интеграла первого рода.
- •43. Криволинейные интегралы I рода.
- •44.Криволинейные интегралы второго рода.
- •46. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
- •Циркуляция и ротор векторного поля.
- •48. Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •50. Формула Грина.
- •67. Классическое определение вероятности
- •68. Сложение и умножение вероятностей
- •69. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •79. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •Теоремы Муавра-Лапласа
- •70. Аксиоматическое определение вероятности (по а.Н.Колмогорову).
- •Свойства вероятности
- •80. Двумерные случайные величины
- •Свойства функции распределения.
- •82,84. Математическое ожидание.
- •Свойства математического ожидания
- •Ковариация (корреляционный момент).
- •Свойства ковариации.
- •Свойства коэффициента корреляции.
- •Двумерное равномерное распределение
- •86,85. Неравенства Чебышева.
- •Законы больших чисел.
- •Теорема Чебышева
- •Теорема Бернулли.
- •78.Правило 3-х (трех “сигм”).
- •Нормальный закон распределения.
1. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность
Опр. т. А наз. пределом посл-ти (Mn) если для любого ε сущ. N-N(ε); любое n≥N(ε) ≥ p(Mn,A) < ε; ; (число)
(x1, x2, …,xm)-независимые переменные.
Опр по Коши: число b наз пределом ф-ии u=f(M) в т. А (при ), если для любого ε > 0 сущ. , для любого
Опр по Гейне: число b наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M) в т. А, если для любого (Mn),
A(a1, a2,…, am)
Теор. Если сущ. и сущ. , то сущ. , причем
Опр. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если
M(x1, x2, …,xn) ; … ; A(a1, a2, …,an)
Опр2. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если
Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии.
2. Частные производные
Частная производная ф-ции в точке по переменной x называется
, если он .
; ;
непрерывна
имеет частные производные в т. А,В непрерывна в т. А,В.
3.Частные производные сложной функции.
; ; Теорема: Если ф-ция дифф. В т. , а - дифф. в т. , то тогда будет диф. в т. и Док-во: ; ; - дифф. в т. - непрерывны в т. , т.е. ; дифф. в т. ; ; ; ; ; ; ; ; - свойство инвариантности формы первого дифф.
Неявные функции и их дифференцирование.
переменная u, являющаяся по смыслу задачи функцией аргументов х, у, ... , задается посредством функционального уравнения F(u, х, у, ...) = 0.(1) В этом случае говорят, что u как функция аргументов х, у, ... задана неявно. Так, например, функция u = - , рассматриваемая в круге x2 + y2 ≤ 1, может быть неявно задана посредством функционального уравнения F(u, х, у) = u2 + x2 + y2 – 1 = 0.(2) Теорема 1. Пусть функция F(u, х, у) дифференцируема в некоторой, окрестности точки M0(u0, х0, у0) пространства R, причем частная производная непрерывна в точке M0. Тогда, если в точке M0 функция F обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа ε, найдется такая окрестность точки M0’(х0, у0) пространства R', что в пределах этой окрестности существует единственная функция u = φ(х, у), которая удовлетворяет условию | u - u0 | < ε и является решением уравненияF(u, х, у) = 0 (3) причем эта функция u = φ(х, у) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки M0’.
4. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
; ;
;
Ф-ция называется диф-м в точке если ее полное приращение может быть представлено в виде , где , А,В – числа.
Теорема: Если диф в точке , то непрерывна в этой точке.
Док-во: -диф-ма в т.
;
- непрерывна в точке
Теорема (необходимое условие диф): Если диф в точке , то
Док-во: ; ;
Теорема (достаточное условие диф): Если имеет частные производные в некоторой окрестности т. , непрерывна в самой точке , то она диф. В точке .
Если дифф. В т. , то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-ции в т.
;
; ;
5. Производная по нарправлению и градиент
Градитентом ф-ции в т M(x1, …, xn)= будем называть вектор, координаты которого есть ч. произв. Этой ф-ции по переменной x1, …, xn соотв. вычесленные в рассматриваемой т. Таким образом
Производная по направлению:
Предп., что в пространстве R3 задан . Пусть далее рассм. т. M0(x0,y0,z0), а т M – т., полученная в результате приращения т. М вдоль направления l.
6-7. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
f (x,y)=f(x0,y0)+A∆x+B∆x+o(ρ); z0=f(x0,y0); z=f(x,y); ∆x=x-x0, ∆y=y-y0;
z0=z0+A(x-x0)+B(y-y0); z0-z=A(x-x0)+B(y-y0);
z0-z=fx‘(x0,y0)(x-x0)+fy‘(x0,y0)(y-y0)-ур-ние касательн. плоскости в поверхности.
z=f(x,y) (x0,y0,z0).
Нормалью к поверхн. в данной точке М0(x0,y0,z0) назыв. прямая, проходящая через эту точку перпенд. к касат.
(x-x0)/fx‘(x0,y0)=(y-y0)/fy‘(x0,y0)=(z-z0)/(-1) – ур-ние нормали
(x-x0)/fx‘(x0,y0,z0)=(y-y0)/fy‘(x0,y0,z0)=(z-z0)/fz‘(x0,y0,z0)