49. Ротор и дивергенция векторного поля, их физ.Смысл и вычисление.

Ротором векторного поля наз. Вектор, обозначаемый rot и определяется формулой или

Характеризует наличие вихрей. Если ротор везде =0, то поле потенциальное

Формула для нахождения u

Где ( -произв.точка обычно (0;0;0)

Физ.смысл.

Найдем ротор поля линейный скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с пост.угловой скоростью , т.е. ротор вектора

По определению ротора

Дивергенция характеризует наличие стоков или источников в точке

Если то т.M –источник

то т. М- сток

50.Формула Грина и ее физич.смысл

Предположим,что в плоской области D задано векторное поле с F(с черт.)= причем ф. P и Q =(x,y)непрерывна по совокупности переменных +частных производных,тогда

L-контур,огр.D + выбрано направл.так,чтобы при движении по кот.область оставалась слева

51. Формула Остроградского и её физ.смысл.

dxdydz заменить на dv.S без плюса

Физ. Смысл:

поток векторного поля S через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу по области, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции векторного поля S.

52. Формула Стокса и её физ.смысл

 циркуляция векторного поля S вдоль замкнутого контура равна потоку ротора векторного поля S через поверхность, натянутую на этот контур.

53. Общие понятия теории рядов. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Где действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера

Сумма первых членов ряда- -й

Если последовательность частичных сумм данного ряда имеет предел S т.е.

,

то ряд сходится и S – его сумма. Записывается это следующим образом:a1 + a2 + a3 + … + a_n + … = S, или  = S.(a=u)

если не существует или равен бесконечности называют расходящимся.

1. Если ряд сходится и его сумма равна S то ряд где с произвольное число, также сходится и его сумма равна сS. Если же ряд расходится и с≠0 то и ряд расходится.

2. Если сходится ряд и сходится ряд а их суммы равны соответственно то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно

3. Если к ряду прибавить( или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и изначальный ряд сходятся или расходятся одновременно.

Необх. Признак сходимости:Если ряд сходится то его общий член

Дост. Условие расходимости если или этот предел не сущ. То ряд расходится.

54. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения.

Признак сравнения 1.

Пусть даны два ряда с положительными членами  ,  , причем каждый член ряда   не превосходит соответствующего члена ряда  .    .

Тогда если сходится ряд  , то сходится и ряд  ; если расходится ряд  , то расходится и ряд  .

Признак сравнения 2, или признак сравнения в предельной форме.

Пусть даны два ряда с положительными членами   и  и пусть существует конечный и не равный нулю  . Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

55. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера

Признак Даламбера. Если для положительного ряда существует конечный предел

  ^,

то этот ряд сходится при L<1 и расходится при L>1.

56. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Интегральный признак Коши. Степенной признак сравнения

Интегральный признак. Если   при  – непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд  , где  , сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл

57.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Где , для всех n (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно)

Признак Лейбница

Если для ряда  выполняются условия:  то этот ряд сходится, причем его сумма удовлетворяет неравенствам

58. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

 Пусть дан знакопеременный ряд

.

Если сходится ряд

,

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если ряд   также сходится.  Если ряд   сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.  Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Свойства:

1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд.(теорема Дирихле)

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами , можно пчленно складывать(вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна ,(или соотв-о ,)

3. Под произведением двух рядов понимают ряд вида

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами есть абсолютно сходящийся ряд, сумма кот.равна