Разрешимость разностной схемы.

Как следует из (8), решение выражается явным образом через значения на границе и на двух предыдущих слоях:

(11)

Решение на нулевом слое определяется по формуле (10a), а затем из формулы (10b) определяется решение на первом слое:

. (12)

Повышение порядка аппроксимации начальных условий.

Поскольку разностное уравнение (8) аппроксимирует основное уравнение (1) со вторым порядком, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. С этой целью воспользуемся разложением в ряд Тейлора:

,

где 0 <  < 1. Отсюда получим

.

Так как в соответствии с дифференциальным уравнением (1)

,

то имеем

.

Следовательно, разностное уравнение

(13)

аппроксимирует второе начальное условие из (3) со вторым порядком по l:

Разностная схема (8), (9), (10a), (13) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) со вторым порядком как по h, так и по l. Решение на нулевом слое определяется по формуле (10a), а затем из формулы (13) определяется решение на первом слое:

. (14)

На остальных слоях решение вычисляется по формуле (11).

Построение равносильной разностной схемы с однородными граничными условиями.

В уравнениях (8) перенесем из левых частей в правые части члены, содержащие граничные значения. После такого преобразования уравнения (8), (9) примут следующий вид

. (15)

. (16)

Здесь .

Начальные условия (10a) и (13) остаются при этом практически без изменения:

. (17)

Очевидно, для внутренних узлов разностная схема (15), (16), (17) равносильна разностной схеме (8), (9), (10a), (13): .

Таким образом, переход к равносильной разностной схеме с однородными граничными условиями упрощает исследование разностной схемы на устойчивость, так как из устойчивости равносильной схемы по правой части автоматически будет следовать устойчивость исходной схемы и по правой части и по граничным условиям. Указанное обстоятельство позволяет ограничиться исследованием разностной схемы с однородными граничными условиями на устойчивость по начальным условиям и по правой части.

При изложении материала за основу взяты

1) страницы 208-210 учебного пособия:

Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы:, т.2.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.

2)страницы 434-436, 442-446 учебного пособия: Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.-М.:Наука,1980

3) страницы 283-285 учебного пособия: Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.: Наука, 1989.

11.8. Устойчивость разностной схемы по начальным условиям в случае решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.

Смешанная граничная задача для одномерного гиперболического уравнения. Разностная схема для смешанной задачи. Погрешность аппроксимации разностной схемы. Условие Куранта, Фридрихса, Леви. Разрешимость и устойчивость.

Исследование разностной схемы на устойчивость по правой части. Использование метода разделения переменных. Построение ортонормированной системы собственных векторов. Использование разложений по системе ортогональных векторов.