- •Односторонний предел по Гейне
- •Односторонний предел по Коши
- •Точки разрыва
- •Устранимые точки разрыва
- •Точки разрыва первого и второго рода
- •Свойства Локальные
- •Глобальные
- •Необходимые условия существования локальных экстремумов
- •Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •Площадь треугольника
- •Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов
- •Простейшие свойства
- •Связанные определения и свойства Подпространство
- •Свойства подпространств
- •Базис. Размерность
- •Линейная оболочка
- •Конечномерный случай
- •Бесконечномерный случай
- •5.1.4. Действия с линейными операторами
- •Канонический вид
Конечномерный случай
Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.
Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве
Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.
Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:
то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.
Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:
можно найти так:
.
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).
Бесконечномерный случай
Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов гильбертова пространства такая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда
называемого рядом Фурье элемента по системе .
Часто базис выбирается так, что , и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа , называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированному базису , имеют вид .
Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система была базисом, является равенство Парсеваля.
Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.
Если задана произвольная система чисел такая, что , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом ряд — сходится по норме к некоторому элементу . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству (теорема Рисса — Фишера).
27)
Пусть в пространстве имеется два базиса: и .
Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 5.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:
(5.1)
Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы
При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису .
Определитель матрицы не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно и векторы , были бы линейно зависимы.
Обратно, если , то столбцы матрицы линейно независимы, и следовательно векторы , получающиеся из базисных векторов с помощью матрицы , линейно независимы и значит образуют некоторый базис. Таким образом, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем.
Рассмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть в старом базисе и - в новом. Подставляя в последнее равенство вместо их выражение из (5.1), получим, что
Таким образом, старые координаты вектора получатся из новых его координат с помощью той же матрицы , только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы.
28)
Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .
В этих пространствах определены базисы e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fm}.
Пусть A(ei ) = a1i·f1 + a2i·f2 + ...+ ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису fпространства Y, i = 1, 2, ..., n.
Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}= {A(ej )i}:
Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием: y = A· x,