Лекция № 14
3.2. Уравнение Шредингера
Как, зная структуру силового поля, в котором движется частица, определить волновую функцию, описывающую квантовомеханическое состояние этой частицы? Как, зная волновую функцию в начальный момент времени, описать эволюцию волновой функции во времени? Ответы на эти вопросы дает основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, сформулированное Э.Шредингером в 1926 г.
Общее
временное
уравнение Шредингера,
позволяющее определить в любой момент
времени волновую функцию
для
частицы массы
,
движущейся в силовом поле
,
описываемом скалярной потенциальной
функцией
,
имеет вид
|
(3.8) |
.
Здесь
-
мнимая единица, а
-
рационализированная постоянная Планка.
Стандартным символом
в
(3.8)
обозначен дифференциальный оператор
Лапласа, который в декартовой системе
координат имеет вид
|
(3.9) |
.В общем случае в задачах квантовой механики дифференциальное уравнение в частных производных (3.8) должно решаться с учетом определенных начальных и граничных условий на волновую функцию.
Начальное
условие задает значение волновой функции
в начальный момент времени
.
Граничные
условия являются следствием регулярности
волновой функции, обеспечивая, в
частности, ее непрерывность. Эти условия
формулируются на границах областей,
где потенциальная функция
терпит
разрывы первого или второго рода. Сюда
же относятся условия на волновую функцию
в бесконечно удаленных точках пространства,
которые обеспечивают выполнение условия
нормировки (3.4).
Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения электродинамики Максвелла и другие основные физические уравнения, не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого доказывается согласием результатов расчетов, выполненных с помощью уравнения Шредингера, с данными экспериментов. Такое согласие установлено для большого числа явлений в атомной и ядерной физике. Квантовые эффекты, предсказанные с помощью уравнения Шредингера, лежат в основе многих технических устройств, приборов и технологий.
Уравнение
Шредингера тесно связано с гипотезой
де Бройля и вытекающим из неё
корпускулярно-волновым дуализмом
материи. Действительно, непосредственной
проверкой легко убедиться, что для
свободной частицы, с кинетической
энергий
,
движущейся в отсутствие силовых полей
(
)
в направлении оси
,
решением соответствующего уравнения
Шредингера
|
(3.10) |
является волновая функция
|
(3.11) |
,соответствующая плоской волне де Бройля. Этот факт позволяет утверждать, что и в общем случае уравнение Шредингера является волновым уравнением. Линейность этого уравнения обуславливает принцип суперпозиции квантовых состояний, физическое содержание которого обсуждалось в предыдущем параграфе.
Как уже указывалось, квантовая механика содержит в себе классическую механику как некоторый предельный случай. Значит, соответствующий предельный переход можно осуществить и в основном уравнении квантовой механики. Уравнение Шредингера после такого предельного преобразования должно перейти в основное уравнение классической механики.
Связь
между квантовой и классической механикой
аналогична связи между волновой и
геометрической оптикой. В обоих случаях
переход от одной теории к другой
соответствует переходу от относительно
больших длин волн (частицы или излучения)
к малым длинам волн, если их сравнивать
с характерным размером
области
неоднородности силового поля или
оптических свойств среды. Этот вывод
иллюстрирует следующая таблица
Волновая оптика |
Квантовая механика |
|
|
Геометрическая оптика |
Классическая механика |
|
|
В таком сравнении теорий траектория движения классической частицы является аналогом светового луча в геометрической оптике.
Формально,
малость длины волны де Бройля для частицы
можно обеспечить, считая квант действия
некоторым
параметром задачи и осуществляя
предельный переход
по
этому параметру. Действительно, по
формуле де Бройля (2.2)
при
длина
волны де Бройля также стремится к нулю.
Поэтому переход от квантовой теории к
классической в уравнении Шредингера
(3.8)
можно осуществить, выполняя в нем
предельный переход
.
В курсах теоретической физики анализируются
результаты такого предельного перехода
и доказывается, что при
общее
временное уравнение Шредингера (3.8)
переходит в уравнение Гамильтона-Якоби
классической механики.
Следует отметить, что с помощью волновых функций, найденных из решений уравнения Шредингера, можно описывать квантовые состояния только нерелятивистских частиц, которые движутся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. Переход к релятивистским скоростям частиц в квантовой механике был впервые осуществлен для электрона П.Дираком в 1928 г. Такой переход потребовал принципиально новых физических идей для описания квантовых состояний релятивистских частиц, результатом применения которых явилось создание релятивистской квантовой механики. В основе этой теории лежит уравнение Дирака, которое обобщает уравнение Шредингера и в настоящее время широко используется в квантовой электродинамике и теории элементарных частиц.