- •Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
- •Ограниченность интегрируемых функций.
- •Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
- •Теорема об интегрируемости монотонной и непрерывной на отрезке функции.
- •5. Основные свойства определенного интеграла.
- •Формула среднего значения для определенного интеграла.
- •7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
- •8. Формула Ньютона – Лейбница для определенного интеграла.
- •9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
- •10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
- •11. Понятие числового ряда и его сумма. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
- •12. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
- •13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
- •14. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •15. Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости функционального ряда.
- •16. Признак Вейерштрассе равномерной сходимости.
- •18. Степенной ряд. Теорема Абеля.
- •19. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
- •21. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидова пространства. Множество точек евклидова пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.
- •22. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.
- •23. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •24. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •25. Двойной интеграл и его свойства. Сведения двойного интеграла к повторному.
- •26. Тройной интеграл, сведение его к повторному.
- •27. Замена переменных в двойном интеграле. Пример случай полярных координат.
- •28. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
- •29. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
- •30(1). Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •30(2). Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
- •31. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •32(1). Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисления.
- •32(2). Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисления.
- •33. Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •35. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля. Скалярное поле, векторное поле
- •Градиент скалярного поля. Дивергенция и ротор векторного поля
- •36. Оператор Гамильтона (набла), его применение (примеры).
- •38. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •39. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнения Бернулли.
- •40. Интегрирование оду первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •Метод введения параметра.
- •42. Уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения. Фундаментальная система решений (фср) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
- •43. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Фср однородной системы. Общее решение однородной и неоднородной системы.
Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
Ограниченность интегрируемых функций.
Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
Теорема об интегрируемости монотонной и непрерывной на отрезке функции.
Основные свойства определенного интеграла.
Формула среднего значения для определенного интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
Формула Ньютона – Лейбница для определенного интеграла.
Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
Понятие числового ряда и его сумма. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости функционального ряда.
Признак Вейерштрассе равномерной сходимости.
Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов. Терема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании ряда (без доказательства).
Степенной ряд. Теорема Абеля.
Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
Ряд Тейлора. Теорема Тейлора о разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора-Маклерона: sin x, cos x, (1+x)a, ln(1+x).
Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидова пространства. Множество точек евклидова пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.
Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.
Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
Двойной интеграл и его свойства. Сведения двойного интеграла к повторному.
Тройной интеграл, сведение его к повторному.
Замена переменных в двойном интеграле. Пример случай полярных координат.
Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисления.
Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.
Оператор Гамильтона (набла), его применение (примеры).
Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.
Интегрирование ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
Интегрирование линейных ОДУ первого порядка и уравнения Бернулли.
Интегрирование ОДУ первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
Уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения. Фундаментальная система решений (ФСР) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. ФСР однородной системы. Общее решение однородной и неоднородной системы.
Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
Определенный интеграл Римана.
Разбиения отрезков.
Def. ] имеется отрезок (a,b). Система точек x0, x1, x2, x3,…, xn называется разбиением отрезка (a,b), если a=x0<x1<x2<x3<…<xn=b, то разбиение будем обозначать как p. Отрезки x=[xk-1,xk] (k=1,2,3,…,n) называется частичными отрезками разбиения. Символом xk=xk-xk-1 обозначается длинна отрезка разбиения - параметр разбиения p. Разбиение отмеченными точками.
Def. ] имеется разбиение p отрезка [a,b] на частичные отрезки xk, в каждом таком отрезке выберем точку k, тогда система точек 1, 2, 3,…, n называется системой отмеченных точек, и обозначается символом , а разбиение с отмеченными точками обозначается (p,).
Def. ] задана функция f(x):[a,b]R Сумма (f;(p,))= - называется интегральной суммой функции f, соответствующей разбиению p с соответствующими точками .
Def1. Число I называется интегралом Римана функции f(x) на отрезке [a,b], если >0 ()>0: ((p,)/(p)<)|(f;(p,))-I|< Иначе: lim0(f;(p,))=I, где число I обозначается как
Def2. Функция f(x):[a,b]R называется интегрируемой по Риману, если . Множество всех интегрируемых по Риману на отрезке [a,b] функций f(x) обозначается как R[a,b].
Суммы Дарбу.
Def. ] задана f(x):[a,b]R и пусть p – разбиение отрезка [a,b] на частичные отрезки xk, k=1,2,3,…,n. Обозначим через mk точную нижнюю грань т.е. mk= , а через Mk= . Суммы и называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу. Свойства сумм Дарбу:
10 p mkf(k)Мk, mkxk f(k)xk Мkxk просумм. получаем
20
возьмем
(используем независимость 1,2,3,…,n)
30 Свойство монотонности сумм Дарбу.
Ограниченность интегрируемых функций.
Условия интегрируемости по Риману.
1. Необходимое условие интегрируемости по Риману.
Th1. Если f(x)[a,b] f(x) – ограничена на [a,b].
Док-во: Предположим противное, что f(x) – неограниченна на [a,b] и пусть p – любое разбиение отрезка [a,b], тогда хотя бы в одном из частичных отрезков xk функция f(x) неограниченна. Это значит, что f(k)xk – это произвольно, выбором точки kxk можно сделать как угодно большим по модулю интегральная сумма (f;(p,)) принимает сколь угодно большие по модулю значения, а это означает, что lim0(f;(p,)) не существует для этой функции, что противоречит условию теоремы.
Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
Th(критерий Римана).
f – ограничено на [a,b] и
Рассмотрим
-
Перейдем к пределу при (p)0 -
Если , то по теореме Дарбу:
= = т.е. - = - =0