- •Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.
- •8) Интегрирование тригонометрических функций.
- •9) Интегрирование иррациональных уравнений.
- •10) Понятие определенного интеграла.
- •11) Основные свойства определенных интегралов.
- •12) Среднее значение функции.
- •13) Формула Ньютона-Лейбница.
- •14) Замена переменной в определенном интеграле.
- •15)Интегрирование по частям определенного интеграла:
- •16) Вычисление площадей плоских фигур:
- •17)Площадь фигуры в полярных координатах:
- •24)Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •25) Признак сходимости неопределенных интегралов (признак сравнения).
- •26)Определение функции двух переменных. Область определения и область значений функций двух переменных.
- •27) Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии уровня.
- •28) Классификация поверхностей второго порядка.
- •36. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл.
- •42. Основные свойства двойного интеграла.
- •43) Выражение двойного интеграла через повторный.
- •44) Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •49) Свойства криволинейного интеграла второго рода
f(x) |
F(x) |
1)sinx.dx dx
|
1)d(-cosx) 2)d 3)dlnx |
Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.
Опр.1 Если (x)=f(x) на множестве x, для любого X, то F(x)-называется первообразной функции f(x). Лемма: Если f(x), равняется 0 на некотором интервале, то F(x)=C на этом интервале. Теорема: Если F(x) - первообразная для f(x) на X, а другая первообразная, то
Опр.2. Множество всех первообразных функции, называется неопределенным интегралом.
Оснновные свойства неопределенных интегралов.
А) .
Б)
В)
Г) .
3. Таблица основных интегралов.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16) +c;
17)
Непосредственное интегрирование.
Использование свойств интеграла и таблицы.
Метод подстановки
Замена под знаком интеграла.
Теорема: Если то
Док-во.
Пример:
Метод интегрирования по частям. Циклические интегралы.
Если существует первообразная для UV и V , то существует интеграл
Циклические интегралы:
( ; ) – принимаются за U.
Интегрирование рациональных дробей.
P и Q – многочлен, причем n – старшая степень, m – это старшая степень знаменателя. Опр.1.Если n , то дробь называется неправильной, необходимо поделить числитель на знаменатель и выделить целую часть.
Существует теорема, утверждающая, что любой многочлен можно представить в виде: где: - главный коэффициент при Х; - корни многочлена; Опр.2. Если n<m, то дробь правильная. Для того, чтобы проинтегрировать правильную дробь, многочлен в знаменателе раскладывают на множители. После чего, подынтегральную функцию раскладывают на элементарные дроби, для этого используют метод неопределенных коэффициентов.
8) Интегрирование тригонометрических функций.
I.
II.
где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени:
III. Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)
Примеры:
IV. или dx
Замена : tgx=t или ctgx=t
= = = = = + C = - + C
V. Универсальная тригонометрическая подстановка.
sinx = , cosx = , подстановка = t
dx = = = t+C = tg +C
VI.
,
(2) sinxdx = tgx = = –
I = – I +
2I = +
I = +
9) Интегрирование иррациональных уравнений.
I. , замена “a”: ax+b-
Пример:
dx = = = dt = 2 dt = 2 - 2 = 2t – 2arc + C = 2 - 2arctg +C
II. , замена:
или
, замена: , dx = -
Пример:
= = = = - = - = - = -
Тригонометрические подстановки в иррациональных интегралах.
III. )dx
Замена: x=a sint, dx=a costdt
Пример:
= = = = dt = = tg(arcsin ) + C
IV. )dx
Замена: x=a tgt, dx =
V. )dx
Замена: x= , dx= - dt