- •1. Метрологическое обеспечение (мо).
- •2. Измерительные св-ва и их меры.
- •3. Аксиомы метрологии.
- •4. Измерительные шкалы.
- •9. Внесистемные единицы фв
- •11. Внесистемные единицы физических величин
- •11. Виды измерения
- •12. Методы измерений
- •16. Качественные характеристики средств измерения
- •19. Аксиомы теории вероятности
- •20. Случайные величины(св) – результаты эксперимента.
- •21. Функции распределения случайных величин, плотность распределения
- •22. Выражение неравенств через вероятность функции распределения и плотность распределения
- •23. Характеристики случайной погрешности
- •24. Числовые характеристики значений св
- •25. Закон распределения непрерывных св. Закон нормального распределения
- •26. Равномерный закон распределения случайных величин
- •27. Распределение Стьюдента.
24. Числовые характеристики значений св
Для описания СВ как провило дают две ее характиристеки математическое ожидание M(θ) и дисперсию D(θ).
M(θ) - среднее значение, вокруг которого разбросаны допустимые значения СВ
D(θ) - степень разбросанности допустимых значений СВ относительно M(θ).
Она характеризуется математическим ожиданием квадрата
D(θ)=M(θ-М(θ)) = M(θ )-М(θ)
Для бесконечной непрерывной СВ математическое ожидание:
25. Закон распределения непрерывных св. Закон нормального распределения
С помощью функции распределения и плотности распределения можно найти вероятность того, что СВ будет .<= данному допустимому значению или = Р1
Для этого необходимо знать закон распределения СВ ,т.е функцию и плотность распределения
Закон нормального распределения –открыт в 1733 г. Муавром ,а затем развит и протабулирован Гауссом и Лапласом (1)
плотность нормального распределения
F(x)= (2)
Функция нор100мального распределения -стандарт
a=M(θ),зная (1) и (2) можно найти вероятность неравенства
Данный интеграл можно протабулировать ,но и такие таблицы нужны для конкретных и а, если а=0 , =1 то этих трудностей можно избежать
Формулы (1) и (2) примут следующий вид
(5)
функция распределения с а=0 , =1 называется стандартом нормального распределения
переход от нормального к стандартному можно представить графически
Стандартное нормальное распределение для нормированной СВ
, , ;
1).F(x) при а<>0,
2).F0( ) при а=0 , для
интеграл (функция ) распределения Лапласа
функцию Лапласа можно протабулировать в пределах
В технической литературе существует таблица стандартного нормального распределения и таблицы распределения интегралов Лапласа
Таблица интегралов Лапласа
x |
Ф(X) |
|
x |
Ф(X) |
0.5 |
0.1915 |
|
1.75 |
0.4599 |
1.0 |
0.3413 |
|
1.96 |
0.475 |
1.28 |
0.3997 |
|
2.51 |
0.4938 |
1.34 |
0.4099 |
|
2.58 |
0.4951 |
1.64 |
0.4495 |
|
2.75 |
0.497 |
Свойства нормального распределения.
Выражение вероятности попадания нормированной случайной величины а=0, =1в любой заданный интервал через функцию Лапласа
P(X`1 X`2)=F0(X`2)- F0(X`1)=Ф(X`2)+0.5- Ф(X`1)-0.5= Ф(X`2)- Ф(X`1)
Выражение вероятности попадания случайной величины а 0, 1в любой заданный интервал через функцию Лапласа
P(X1 X2)=F0(X2)- F0(X1)=P(X`1 (0а) X`2)=
P( 0 )=Ф( )-Ф( )
Для вероятности того, что случайная величина не превысит заданные значения 1-е и 2-е свойства имеют следующий вид.
1`) P(0 X`1)=Ф(X1)+0.5
2`) P( X1)=Ф( )+0.5
3-е и 4-е свойства рассмотрим при симметричном распределении случайной величины относительно математического ожидания
P(X1 X2)=P(a- a+)= P(- -a )= P(- ).
=-a=-M() – абсолютное отклонение.
Сформулируем задачу об абсолютном отклонении. Найти вероятность того, что абсолютное отклонение не превысит некоторого заданного числа.
заданное число.
P( )= P(- ) P(- (-a ) )= P(a- a+)= P(a- 0а a+)= P(- 0 )= P(- 0 )= Ф()- Ф(-)=Ф()+ Ф()=2 Ф().
Таким образом, сформулируем третье свойство нормального распределения. Выражение вероятности того, что абсолютное отклонение не превысит заданного числа через функцию Лапласа этого числа и стандарт
P( )=2 Ф()
P( )=2 Ф(), т.к.
Заданное число можно выразить через стандарт t.
P( )=2 Ф()=2 Ф((t))=2 Ф(t)
P(0 )=2 Ф()=2 Ф(t), т.к.
Вероятность того, что абсолютное отклонение нормального распределения случайной величины не превысит некоторого предела зависит только от того во сколько раз t превышает стандарт
P( )=P(0 )=2 Ф(t)
Происхождение названия стандарт для исходит из-за того, что с этой величиной сравнивают все отклонения.