№1 Ортогональные функции.
Две вещественные функции и на интервале называются ортогональными, если
Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных — скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.
Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом функции и , если
где — скалярное произведение векторов и — значений векторнозначных функций и в точке , — точка области , а — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных , скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных , : .
Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если
Определение. Последовательность функций j1(x), j2(x), …, jn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.
Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.
Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если
Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций j1(x), j2(x), …,jn(x) называется ряд вида:
коэффициенты которого определяются по формуле:
,
где f(x) = - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].
[an error occurred while processing this directive]
В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:
№ 3 разложение в ряды фурье по системе косинусов и синусов
Разложение в ряд Фурье по косинусам.
Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
Разложение в ряд Фурье по синусам.
Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).
Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
№ 5 Предел ФКП. Непрерывность ФКП. Производная ФКП. Условия Каши-Римана. Предел ФКП. Определение. Пусть функция w = f(z) определена в проколотой окрестности точки z0 = x0 + iy0. Комплексное число w0 = u0 + iv0 называется пределом функции при z → z0, если для любой ε-окрестности U(w0, ε) (ε>0) точки w0 найдётся такая проколотая δ-окрестность точки z0, что для всех значения f(z) принадлежат U(w0, ε). Другими словами, если z0 - собственная точка плоскости, то для любого ε > 0 должно существовать такое δ > 0, что из неравенства 0 < |z − z0| < δ следует неравенство | f(z) − w0| < ε (аналогично расписывается определение для несобственной точки z0 = ∞). Таким образом, на языке ε - δ определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно: . Неравенство | f(z) − w0| < ε означает, что |(u(x, y) + iv(x, y)) − (u0 + iv0)| < ε, или |(u(x, y) - u0) + i(v(x, y) − v0)| < ε. Для модуля комплексных чисел справедливы все основные свойства абсолютной величины, в частности |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, поэтому |(u(x, y) - u0) + i(v(x, y) − v0)| < ε Отсюда легко получить, что . Таким образом, существование предела функции комплексной переменной равносильно существованию пределов двух действительных функций u(x, y) и v(x, y) двух действительных переменных. Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все теоремы о пределах функции в точке (предел суммы функций и т.д.). Так же можно доказать, что если w0 = |w0|·(cos arg w0 + i sin arg w0) ≠ 0, то (для существования нулевого предела достаточно, чтобы ). .
Непрерывность ФКП. Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z0 = x0 + iy0. Функция называется непрерывной в точке z0, если: 1. существует ; 2. Как и в случае предела, можно показать, что w = f(z) будет непрерывной в точке z0 = x0 + iy0 тогда и только тогда, когда функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x0, y0), поэтому на ФКП переносятся все основные теоремы о непрерывности функций.
Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия -аналитичности функции в точке и в области. Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области. Примеры. 1. f(z) = z 2. В этом случае f (z + Δz) = (z + Δz)2 = z 2 + 2 z·Δz + (Δz) 2; . Таким образом , эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2z. 2. f(z) = | z |2 = x2 + y2. Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке z ≠ 0. Будем стремить Δz → 0 по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае Δz = Δx), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае Δz = i Δy). В первом случае , во втором . Эти пределы равны, только если 2х = −2iy ⇒ х = y = 0. Таким образом, функция f(z) = | z |2 = x2 + y2 может быть дифференцируема в единственной точке z = 0, во всех остальных точках пределы различны в зависимости от способа стремления Δz → 0, т.е. не существует.
Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции. Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z) были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения . Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой воспользовались, когда доказывали, что функция f(z) = | z |2 = x2 + y2 не имеет производных в точках z ≠ 0: подойдём к точке z двумя путями - по направлениям Δz = Δх (Δy = 0) и Δz = iΔy (Δx = 0). В первом случае: Δw = (u(x + Δx, y) + iv(x + Δx, y)) − (u(x, y) + iv(x, y)) = = (u(x + Δx, y) − u(x, y)) + i(v(x + Δx, y) − v(x, y)) = Δxu + iΔxv; . Во втором случае: (напомню, что ) Δw = (u(x, y + Δy) + iv(x, y + Δy)) − (u(x, y) + iv(x, y)) = = (u(x, y + Δy) − u(x, y)) + i(v(x, y + Δy) − v(x, y)) = Δyu + iΔyv; . Пределы должны быть равны, поэтому . Достаточность. По предположению теоремы, функции u(x, y), v(x, y) дифференцируемы в точке (х,у), поэтому где α(Δx, Δy), β(Δx, Δy) - бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с , т.е. , . Найдём . . Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Δz = Δx + iΔy: ; далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим на , на ; тогда . Отсюда следует, что существует , т.е. функция дифференцируема в точке (х,у). Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул , эти равенства следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного анализа: (в точках, где g(z) ≠ 0.
№ 7. Вычеты и их приложения. Основная теорема теории вычетов.
основная теорема о вычетах: если функция является аналитической всюду в замкнутой области , за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих внутри , то
|
Пример: Вычислить интеграл .
Решение: Точка является особой для подынтегральной функции, причем, согласно классификации, это полюс третьего порядка. Тогда
и соответственно .