Вопросы к экзамену.

1. ДУВП. Решение. Общее решение. Общий интеграл. Промежуточный интеграл. Первый интеграл. Понижение порядка с помощью независимых первых интегралов.

2. ДУВП. Задача Коши. Теорема Коши-Пикара. Теорема Пеано. Краевая задача.

3. ДУВП. Неполные уравнения, интегрируемые в квадратурах.

4. ДУВП. Неполные уравнения, допускающие понижение порядка.

5. Полные уравнения, допускающие понижения порядка.

6. Линейные ДУВП. Задача Коши. Т. Коши-Пикара. Однородные и неоднородные уравнения. Некоторые свойства решений ЛОДУ. Линейная независимость системы функций. Определитель Вронского.

7. Линейная независимость частных решений ЛОДУ n-го порядка. Формула Остроградского-Лиувилля.

8. Линейные ДУ n-го порядка. ФСР. Теорема об общем решении ЛОДУ.

9. Задача о построении ЛОДУ по заданной ФСР.

10. ЛОДУ n-го порядка с ПостК. Т. Коши-Пикара. Метод Эйлера построения ФСР. Случай простых корней характеристического уравнения.

11. ЛОДУ n-го порядка с ПостК. Метод Эйлера построения ФСР. Случай кратных корней характеристического уравнения. Теорема об интегрируемости.

12. ЛНДУ n-го порядка. Теорема о структуре общего решения. Некоторые свойства решений. Принцип суперпозиции.

13. ЛНДУ n-го порядка. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для отыскания ЧР. Т. об интегрируемости.

14. Метод Коши отыскания ЧР ЛНДУ n-го порядка.

15. ЛНДУ n-го порядка с ПостК и специальной правой частью (СПЧ) вида .Метод неопределенных коэффициентов.

16. ЛНДУ с ПостК и СПЧ вида . Метод неопределенных коэффициентов.

17. ЛНДУ с ПостК и СПЧ вида . Метод неопределенных коэффициентов. Метод комплексных амплитуд.

18. Гармонический осциллятор под действием внешней гармонической силы. Явление резонанса.

19. Линейный осциллятор под действием внешней гармонической силы.

20. ЛОДУ n-го порядка с ПеремК. Приведение к ЛДУ с ПостК с помощью замены аргумента.

21. ОДУ Эйлера.

22. ЛОДУ n-го порядка с ПеремК. Приведение к ЛДУ с ПостК с помощью замены искомой функции.

23. Понижение порядка ЛОДУ n-го порядка с ПеремК при помощи известного частного решения.

24. Отыскание ЧР ЛОДУ n-го порядка с ПеремК в виде функции заданного вида и в виде степенного или обобщенного степенного ряда.

25. ЛОДУ второго порядка с ПеремК.

26. Способы поиска ЧР ЛНДУ n-го порядка с ПеремК. Неоднородное ДУ Эйлера.

27. Системы обыкновенных ДУ. Порядок системы. Каноническая и нормальная системы. Приведение ДУ n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, к нормальной системе ДУ n-го порядка.

28. СДУ в нормальной форме. Решение. Общее решение. Частное решение. Задача Коши. Геометрический смысл задачи Коши___!

29. СДУ в нормальной форме. Т. Коши-Пикара. Т. Пеано. Метод Пикара как приближенный метод решения ЗК.

30. Общая теория нормальных CДУ и ДУ n-го порядка.

31. ЛСДУ в НФ. Т. Коши-Пикара. Однородные и неоднородные системы. Некоторые свойства решений однородной системы.

32. ЛОСДУ в НФ. Линейная независимость n частных решений. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля.

33. ЛОСДУ в НФ. ФСР. Теорема об общем решении.

34. Задача о построении ЛОСДУ, имеющей заданную ФСР.

35. ЛОСДУ с ПостК. Т. Коши-Пикара. Метод Эйлера построения ФСР. Случай действительных различных корней характеристического уравнения.

36. ЛОСДУ с ПостК. Метод Эйлера построения ФСР. Случай комплексных и кратных корней характеристического уравнения. Теорема об интегрируемости.

37. ЛНСДУ. Теорема о структуре общего решения. Некоторые свойства решений. Принцип суперпозиции.

38. ЛНСДУ. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения. Теорема об интегрируемости.

39. ЛНСДУ с ПостК.

40. Динамическая интерпретация нормальной СОДУ. Фазовое пространство. Фазовая траектория.

41. Автономные и неавтономные динамические системы. Свойства решений автономных динамических систем (АДС). Фазовый портрет и бифуркации.

42. Виды траекторий АДС. Сравнение геометрической интерпретации АДС в фазовом и расширенном фазовом пространстве.

43. Устойчивость решений динамических систем. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Критерий Рауса-Гурвица.

44. Фазовая плоскость ЛОСДУ 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа узел.

45. Фазовая плоскость ЛОСДУ 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа седло.

46. Фазовая плоскость ЛОСДУ 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа фокус и центр.

47. Фазовая плоскость ЛОСДУ 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа вырожденный узел и дикритический узел.

48. Исследование устойчивости решений динамических систем с помощью функции Ляпунова.

49. Общие методы интегрирования СДУ. Метод сведения нормальной системы n ДУ к ДУ n-го порядка. Метод исключений.

50. Теория интегралов нормальных СДУ. Интеграл. Первый интеграл. НиД условие первого интеграла. Общий интеграл. Решение задачи Коши при наличии общего интеграла.

51. Независимость первых интегралов нормальной СДУ.

52. Теоремы о числе первых интегралов нормальной CДУ и числе независимых первых интегралов.

53. Понижение порядка СДУ с помощью независимых первых интегралов.

54. СДУ в симметрической форме. Интегрируемые комбинации.

55. ЛОДУ в ЧППП. Характеристическая система.

56. ЛОДУ в ЧППП. Теорема об общем решении.

57. ЛОДУ в ЧППП. Задача Коши.

58. ЛНДУ в ЧППП. Общее решение.

59. ЛНДУ в ЧППП. Задача Коши.

60. ЛНДУ в ЧППП. Обобщённая задача Коши.

1. Дувп. Решение. Общее решение. Общий интеграл. Промежуточный интеграл. Первый интеграл. Понижение порядка с помощью независимых первых интегралов.

(1) – ДУ n-го порядка. Решение – непрерывная, n раз дифференцируемая , обращающая (1) в верное тождество от .

- явный вид; - общий интеграл; - параметрическое задание.

Промежуточный интеграл - . Первый интеграл - .

Т.: если известно, первых интегралов уравнения, то с их помощью можно понизить порядок на единиц. Если известно промежуточных интегралов, то общий интеграл получается без интегрирования.

2. Дувп. Задача Коши. Теорема Коши-Пикара. Теорема Пеано. Краевая задача.

(1) – ДУ n-го порядка.

Задача Коши: найти решение, удовлетворяющее условиям (2), т.е. . Из этой системы выражаем . Решение есть, если .

Общее решение, в котором роль произвольных постоянных играют значения функции и ее производных при фиксированных значениях - общее решение в форме Коши. График частного решения – интегральная кривая.

Т. Коши-Пикара: дано уравнение (1), задача Коши (2) и выбрано направление . Если в области выполняется: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных; 2) - непрерывные; 3) . Тогда задача Коши имеет единственное решение, являющееся гладким по крайней мере в окрестности и .

Т. Пеано: если в области функция определена и непрерывна по совокупности переменных, то задача Коши имеет хотя бы одно решение, определенное в окрестности точки .

При решении ЗК для ДУВП методом последовательного интегрирования целесообразно удовлетворять начальным условиям после каждого интегрирования, т.к. при произвольных постоянных интегрирование м.б. затруднено или вообще невозможно в элементарных.

Для ДУВП ставится краевая задача, когда заданы значения искомой функции в точках некоторого отрезка.

, , , . Также КЗ может задаваться значением линейной комбинации функции и ее производной: . КЗ не всегда разрешима и разрешима не единственно.

3. Дувп. Неполные уравнения, интегрируемые в квадратурах.

(1) – ДУ n-го порядка.

1.

а) ;

б) ;

4. Дувп. Неполные уравнения, допускающие понижение порядка.

(1) – ДУ n-го порядка.

1.

Замена , где - неизвестная функция, понижает порядок уравнения на единиц . Пусть найдено общее решение , - получено уравнение -го порядка, интегрируемое в квадратурах. Пусть найден общий интеграл , тогда - уравнение, интегрируемое в квадратурах. Пусть найдено решение в форме , , , . Таким образом, .

2.

Замена , где - новая переменная, а - новая неизвестная функция, понижает порядок на 1. При этом от дифференцирования по надо перейти к дифференцированию по :

, , .

3. , , приводит к понижению порядка на единицу. Если уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, модно попробовать подобрать ИМ .

5. Полные уравнения, допускающие понижения порядка.

- однородное ДУВП. Для установления однородности необходимо проверить на решение. Для , замена , где понижает порядок на единицу.

, …, . Подставим полученные значения в исходное уравнение. Пусть , тогда в силу однородности: , , значит . Пусть найдено общее решение , тогда - уравнение с разделяющимися переменными.

Обобщенные однородные ДУВП.

. Чтобы найти надо сделать замену и приравнять сумму степеней слагаемых, в которые входит . Если система совместна, то найдено. Иначе уравнение не является обобщенным однородным. Замена , где - новая переменная, а - новая неизвестная функция, понижает порядок на единицу. От дифференцирования по перейти к дифференцированию по . , . Подставим полученные значения производных в исходное выражение. Пусть , тогда и уравнение n-го порядка без вхождения независимо переменной, следовательно. Замена понизит порядок на единицу.