Введение.

Математическая логика появилась в 19 веке, ее основоположником считается немецкий философ Лейбниц (1646- 1716). Основы формальной логики заложил Аристотель.

Логика – наука о формах и способах мышления.

Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются понятие, высказывание, умозаключение.

Математическая логика изучает способы формального представления высказываний из имеющихся с помощью логически выдержанных преобразований, а также способы установления истинности или ложности высказываний.

Понятие – форма мышления, фиксирующая основные существенные признаки объекта.

Объекты, объединяющие понятия, образуют некоторое множество, например: понятие «компьютер» объединяет множество электронных устройств, которые предназначены для обработки информации, и обладает монитором и клавиатурой, поэтому трудно спутать компьютер с другим объектом.

Понятие имеет 2 стороны:

- содержание (содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта);

-объем (объем понятия определяет совокупность предметов, на которые оно распространяется).

Высказывание – форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.

Высказывание может быть истинным или ложным. Свое понимание окружающего мира человек формирует в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением. Высказывания могут быть выражены с помощью:

-естественных языков (дважды два – четыре);

-формальных языков (2*2=4).

Об объектах можно судить верно или неверно, высказывание может быть истинным или ложным.

Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отражение реальных вещей.

Ложным будет высказывание тогда, когда оно не соответствует реальной действительности. (например высказывание «Процессором является устройство для печати» ложно).

Высказывание не может быть выражено повелительным и вопросительным предложением, так как оценка их истинности или ложности невозможна. Иногда истинность высказываний является относительной (например: «На моем ПК установлен самый современный процессор Pentium-4» - истина, но пройдет время и он морально устареет). Из простых высказываний могут быть составлены составные. Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается на основе здравого смысла, то для составных высказываний истинность или ложность вычисляется с помощью алгебры высказываний.

Высказывание будем называть простым( элементарным), если оно рассматривается нами как некое неделимое целое. Обычно к ним относят высказывания, не содержащие логических связок

Высказывания:

1)Набережные Челны – большой город

2)Дважды два четыре

3)Сегодня отличная погода

4)2+3=5

5)Озеро Байкал-одно из крупнейших озер

6)Аристотель является одним из основоположников науки зоология

7)Параллелограмм имеет четыре вершины

8)Число 25 делится на 5.

9)Зимой дни короче чем летом

10) для всякого числа х справедливо

11)Число 2 больше 5

12)Регистрация фирмы требует наличия устава

13)От перестановки слагаемых сумма не меняется

14) Мы живем в 21 веке

15) Рубль- российская валюта

Умозаключение – форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится по правилам формальной логики, то оно будет истинным.

1.Теоретические основы математической логики.

1. Алгебра высказываний (АВ).

Алгебра высказывания была разработана для того, чтобы можно было определить истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

В Алгебре высказывания суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.

А = 2*2 =4 — истина (1) А = 1

В = 2*2 =5 — ложь (0) В = 0

В АВ высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь 2 значения:

• истина (1);

• ложь (0).

Над высказываниями можно проводить логические операции, в результате которых получатся новые составные высказывания.

1.2 Основные понятия.

При составлении сложных высказываний роль связок играют союзы: «и», «или», «не», «если», «либо…, то», «тогда и только тогда» и другие.

Основные логические связки (операции) логики высказываний:

1) Конъюнкцией ( операцией «И», логическим произведением) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное, когда оба высказывания истинны, и ложное – во всех других случаях.

Обозначается: P & Q; PΛQ; P·Q; (читается: «P и Q»).

P	Q	P & Q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

2) Дизъюнкцией ( операцией «ИЛИ», логической суммой) двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное в случае, когда оба высказывания ложны, и истинное – во всех других случаях.

Обозначается: P V Q; P+Q; (читается: «P или Q»; понимается как неразделительное «или»).

P	Q	P + Q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

3) Отрицанием (инверсией) высказывания Р называется высказывание, истинное, когда высказывание Р ложно, и ложное – в противном случае.

Обозначается: или ┐Р (читается: «не Р», «неверно, что Р»).

4) Импликацией ( логическим следованием) двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное, когда Р истинно, а Q ложно; во всех других случаях – истинное.

Обозначается: P → Q; P Q; (читается: «если P, то Q», «P влечет Q», «из P следует Q»). При этом высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – заключением.

P	Q	P → Q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

5) Эквивалентностью (эквиваленцией, равнозначностью) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное, когда истинностные значения P и Q совпадают, и ложное – в противном случае.

Обозначается: P~ Q; P≡Q; P↔ Q;(читается: « P эквивалентно Q», «P, если и только если Q», «P равнозначноQ»).

P	Q	P~ Q
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

6) Неравнозначностью (исключающим «ИЛИ», сложением по модулю) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное, когда истинностные значения P и Q не совпадают, и ложное – в противном случае.

Обозначается: P Q; P Q; (читается: «либо Р, либо Q», «или Р, или Q» понимается – в разделительном смысле).

Буквы, обозначающие высказывания, логические связки и скобки составляют алфавит языков логики высказываний. С помощью элементов алфавита можно построить разные логические формулы.

Логическая формула – выражение, составленное из обозначений высказываний, скобок, связок называется формулой, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. любая переменная, обозначающая высказывание – формула;

2. если А и В – формулы, то - формулы;

3. других формул нет;

Соглашение о скобках

Поскольку в построенных формулах оказывается очень много скобок, для однозначного понимания формул принято следующее соглашение восстановления формул:

1)Если опущены внешние скобки они восстанавливаются

2)если рядом стоят две или то в скобки заключается сначала самая левая часть

3)если рядом стоят разные связки, то расставляются следующие приоритеты: ┐, , ,

Существуют следующие типы формул:

Выполнимые, опровержимые, тавтология, противоречие.

Если существует такой набор значений высказывательных переменных A,B,C и т.д. , при котором формула принимает истинное значение, то формула выполнима.

Если существует такой набор значений высказывательных переменных A,B,C и т.д. , при котором формула принимает ложное значение, то формула опровержима

Формула тавтология, если она обращается в истину при всех наборах значений переменных A,B,C и т.д.

Формула является противоречием, если она обращается в ложь при всех наборах значений A,B,C и т.д.

Чтобы определить к какому типу относится формула, необходимо построить таблицу истинности или с помощью равносильных преобразований убедиться что формула тождественно истинна , например, для тавтологии или ложна для противоречия

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными.

Представить логическими формулами следующие высказывания:

1. Сегодня понедельник или вторник

Решение

Это сложное высказывание, состоящее из двух простых А – сегодня понедельник, В – сегодня вторник. Эти два высказывания соединены связкой ИЛИ в разделительном смысле, поэтому могут быть записаны логической формулой:

(А  В)

2. Идет дождь или снег

Решение

А – идет снег, В – идет дождь. Два простых высказывания соединены связкой ИЛИ, но не в разделительном смысле

(А  В)

3. Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые.

Решение

Каждое из этих предложений состоит из двух простых высказываний: А – идет дождь, В – крыши мокрые. В первом предложении А и В соединены связкой «если …, то …» (А → В). Во втором предложении союз «а» имеет смысл связки И (), и кроме того раз дождя нет, то берем А: (А  В).

Объединим эти два простых высказывания и получим (А → В)  (А  В)

4. Что в лоб, что по лбу.

Решение

Обозначим А – в лоб, В – по лбу, получим: А  В

5. Если допоздна работаешь с компьютером и при этом много пьешь кофе, то утром просыпаешься в дурном расположении духа или с головной болью.

Решение

Высказывание состоит из простых:

x – допоздна работаешь с ПК

y – пьешь много кофе

z – встаешь в дурном расположении духа

u – встаешь утром с головной болью

(x  y) → (z  u)

6. Если социологическое исследования показывают, что потребитель отдает предпочтение удобству и многообразию выбора, то фирме следует сделать упор на усовершенствование товара или увеличение многообразия новых форм.

Решение

x – социологические исследования показывают, что потребитель отдает предпочтение удобству;

y – социологические исследования показывают, что потребитель отдает предпочтение многообразию выбора;

z – фирме следует сделать упор на усовершенствование товара;

u - фирме следует сделать упор на увеличение многообразия новых форм.

(x  y) → ( z  u)

Видим, что формулы выглядят одинаково, хотя отражают разные содержания.

Если фирма продолжает выпуск существующего продукта и ориентирована на существующий рынок, то для нее целесообразна стратегия «малого корабля», или экономии издержек.

Такая стратегия привлекательна, если интенсивный маркетинг – стратегический, хозяйственный фактор, но слабая сторона организации.

Если интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором и сильной стороной фирмы, то фирме следует придерживаться захвата новых рынков для существующего продукта.

Решение

Рассмотрим первое предложение:

А – фирма продолжает выпуск существующего продукта

В – фирма ориентирована на существующий рынок

С – для фирмы целесообразна стратегия «малого корабля»

D – целесообразна стратегия экономии издержек

Формула примет вид (A  B) → (C  D)

Рассмотрим второе предложение

K – интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором организации

L - интенсивный маркетинг является слабой стороной организации

Формула примет вид (K  L) → (C  D)

Рассмотрим третье предложение

M – интенсивный маркетинг является сильной стороной организации

N – фирме следует придерживаться стратегии захвата новых рынков для существующего

Формула примет вид (K  M) → N

Окончательная формула примет вид:

((A  B) → (C  D))  ((K  L) → (C  D))  ((K  M) → N)