- •Введение.
- •Назначение курса.
- •1.2 Логические представления
- •1.3 История развитая математической логики
- •1.4 Вопросы для самопроверки.
- •2. Основы математической логики
- •2.1 Логика высказываний. Основные понятия и определения.
- •2.2 Предикаты и кванторы
- •2.3 Булевы функции, булевы константы.
- •2.4 Основные логические связи.
- •Отрицание (логическая связь "не")
- •Конъюнкция
- •Дизъюнкция
- •Импликация.
- •Эквиваленция или равнозначность
- •2.5 Вопросы для самопроверки.
- •3. Алгебра логики.
- •3.1 Понятие алгебры.
- •3.2 Основные логические функции
- •3.3 Основные законы алгебры логики
- •Постулаты алгебры логики
- •Законы алгебры логики. Теоремы одной переменной
- •Теоремы для двух и трех переменных
- •3.4 Тавтологии. Равносильные формулы
- •3.5 Полнота системы логических функций. Базис
- •Критерии полноты Поста-Яблонского
- •3.6 Вопросы для самопроверки
- •4. Введение в формальные (аксиоматические) системы
- •4.1 Формальные модели.
- •4.2 Принципы построения формальных теорий. Аксиоматические системы, формальный вывод.
- •4.3. Формальные теории. Основные понятия и определения
- •Выводимость
- •Полнота, независимость и разрешимость
- •Метатеория формальных систем.
- •4.5 Вопросы для самопроверки.
- •6.3 Метод резолюции для логики предикатов первого порядка
- •6.5Формы представления логических формул.
- •7. Неклассические логики
- •7.2 Нечетная логика
- •7.3 Модальная и пороговая логика
- •Пороговая логика
- •Машина Тьюринга
- •8.3 Рекурсивные функции
- •8.5 Алгоритмически неразрешимые проблемы.
- •8.6 Меры сложности алгоритмов. Классы задач р, ехр и np. Np полные задачи
3.6 Вопросы для самопроверки
1. Составьте таблицы истинности для формул:
а) б)
в) г)
д)
x |
y |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
3.2. Установите с помощью таблиц истинности какие из следующих формул - тавтологии:
а) б)
в) г)
д) е)
3. На основании каких законов логики получены следующие соотношения? Докажите их с помощью таблиц истинности :
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
4. Какие из данных формул равносильны:
а) б) в) г)
д) е) ж) з)
5. Полиция задержала 4 гангстеров, подозреваемых в краже автомобиля: Анри, Луи, Жоржа и Тома. При допросе они дали следующие показания: Анри: «Это был Луи», Луи: «Это сделал Том», Жорж: «Это не я», Том: «Луи лжет, говоря, что это я». Дополнительное расследование показало, что правду сказал только один из них. Кто украл машину?
х |
y |
z |
F1 |
F2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
6. Составьте формулы, соответствующие данной таблице истинности (выберите рациональный способ). Упростите полученные формулы и изобразите их в виде контактных схем.
7. Для каждой из данных формул найдите ее СДНФ и СКНФ:
а) б) в)
г)
8. Напишите СДНФ представляющую: а) тавтологии с переменными х и у; б) тавтологии с переменными х, у и а; в) тождественно ложные формулы с переменными х, у и а.
Пример: .
9. Составьте всевозможные таблицы истинности для формул с 2 переменными х и у. Выпишите СДНФ и СКНФ формул, соответствующих этим таблицам. Укажите 16 таких таблиц.
10. Один логик попал в плен дикарям в пещеру, имеющую 2 выхода. Вождь дикарей предложил логику следующий шанс на спасение: «Один выход ведет на свободу, другой на смерть. Сделать выбор тебе помогут два моих воина, одному из которых ты можешь задать единственный вопрос. Но предупреждаю тебя, что один из этих воинов всегда говорит правду, а другой всегда лжет». Что должен спросить логик?
11. Установите, какие из данных формул являются ДНФ, СДНФ, УНФ и СКНФ формул с переменными х, у и z:
а) б) в)
г) д) е)
ж)
Примечание: Для приведения к СДНФ, если в какой-либо конъюнкции не содержится переменной я из числа переменных, входящих в исходную формулу, надо добавить к этой конъюнкции член ( ) и применить закон распределительности конъюнкции относительно дизъюнкции (для приведения к СКНФ член соответственно)
.
12. Приведите следующие формулы к СДНФ с помощью равносильных преобразований:
а) б) в)
г) д) е)
13. Приведите следующие формулы к СКНФ с помощью равносильных преобразований и проверьте их с помощью таблиц истинности :
а) б) в)
г) д)
Примечание: .
14. Найти все булевы функции от 2х переменных являющиеся:
а) линейными; б) монотонными; в) самодвойственными.
15. Установить является ли самодвойственной функция эквивалентности.
16. Привести пример монотонной функции, которая одновременно была бы линейной.
17. Убедиться, что функции Шеффера и Вебба не являются ни линейными, ни монотонными.