1)Общая характеристика колебаний.Классификация колебаний.

Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во временипроцесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращениемэнергии одной формы проявления в другую форму.

Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны c волнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования энергии.

2)Незатухающие гармонические колебания. Параметры гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение г.к. Энергия колебаний.

НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания с постоянной амплитудой.

Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т.е. такие изменения физической величины, которые идут по закону

где . Из курса математики известно, что функция вида (1) меняется в пределах от А до -А , и что наименьший положительный период у нее . Поэтому гармоническое колебание вида (1) происходит с амплитудой А и периодом .

Не следует путать циклическую частоту  и частоту колебаний . Между ними простая связь. Так как , а , то  .

Величина  называется фазой колебания. При t=0 фаза равна , потому  называют начальной фазой.

Отметим, что при одном и том же t:

где - начальная фаза .Видно, что начальная фаза для одного и того же колебания есть величина, определенная с точнотью до

Закон Ома (10.7)

Второй закон Ньютона (4.6)

Уравнение динамики вращательного движения (7.3)

Используя другое обозначение производной получим после несложных преобразований:

Мы получили дифференциальные уравнения, описывающие движения наших систем. В первых двух случаях уравнения одинаковы по форме, в третьем случае второй член уравнения содержит не φ, а Sin φ .

3)Пружинный и математический маятники.

*Пружинный маятник

На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (F_ynp) (рис. 3, первый две силы на рис. а не указаны). Запишем второй закон Ньютона для случая, изображенного на рис. 3, б

0Х:   или 

а (материал с сайта science.up-life.ru)

б

Рис. 3.

Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний

находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника

Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:

*Математический маятник

На груз m математического маятника действуют сила тяжести (m⋅g) и сила упругости нити (F_ynp) (сила натяжения) (рис. 4). Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для случая, изображенного на рис. 4, б

б

Рис. 4.

Пусть x — длина дуги AB, следовательно, x = l⋅θ, где угол θ выражен в радианах. Заметим, что при малых углах θ

Тогда

 или 

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний

находим, что при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

Тогда период колебаний маятника будет равен:

5)Незатухающие электрические колебания. Энергия электрических колебаний.

Простейший колебательный контур. Формула Томсона

В простейшем случае, когда омическое сопротивление равно нулю (R = 0) и источник э.д.с. отсутствует (E = 0), колебательный контур состоит лишь из конденсатора C и катушки индуктивности L и описывается дифференциальным уравнением

В таком контуре будут происходить незатухающие электрические колебания с периодом

Данная формула называется формулой Томсона в честь английского физика Уильяма Томсона (1824-1907), который теоретически вывел ее в 1853 году.

В случае электрических колебаний энергия в конуре представляет собой сумму энергии электрического поля, запасенной между обкладками конденсатора, и энергии магнитного поля, запасенной в катушке с индуктивностью. Вычислим обе составляющие.

6)Графическое представление колебаний.

Период гармонических колебаний равен: T = 2π/ . Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν. Частота гармонических колебаний равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду. Круговая частота   = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.

Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм)(рис.1.1.Б). 

Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды Арасположен под углом φ к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ). Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью  , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону: .  Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний φ, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний. Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний ν.

7)Собственные затухающие колебания. Параметры затухающих колебаний.

Собственные затухающие колебания происходят в колебательном контуре RLC(рис. 11.1. и 11.5.).

Рис. 11.5.

Эти колебания можно описать следующим дифференциальным уравнением (правило напряжений Кирхгофа):

                         IR – U_C = e^СИ.                     (11.6)

Здесь по-прежнему: I =  ; U_C =  ; e^СИ =   =   =  .

Учитывая эти соотношения, уравнению (11.6) придадим следующий вид:

                          ;

                          .                  (11.7)

Здесь d =   — коэффициент затухания;   =   — частота собственных незатухающих колебаний.

Уравнение (11.7) — дифференциальное уравнение собственных затухающих электрических колебаний.

Если в системе  , то решением этого уравнения является следующая функция:

                    q = Ae^–dtcos(wt + j).                        (11.8)

Здесь А и j — постоянные, которые можно найти, воспользовавшись начальными условиями, а частота колебаний:

                     .                       (11.9)