1) Подставляем вместо «зет».
(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса. В этих целях раскрываем скобки.
(3) Используем формулу , при этом .
(4) Используем чётность гиперболического косинуса: и нечётность гиперболического синуса: . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.
В итоге: – действительная часть функции ; – мнимая часть функции .
Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:
Проверим выполнение условий Коши-Римана:
Условия Коши-Римана выполнены.
Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.
С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:
Пример 10
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.
Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…
Пример 11
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Решение: Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции. Если , то
Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?
Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение, он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников. Вспоминаем школьную формулу . В знаменателе у нас уже есть , значит, сопряженным выражением будет . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на :
Вот и всё, а вы боялись: – действительная часть функции ; – мнимая часть функции .
Повторюсь в третий раз – не теряем минус у мнимой части!!!
Проверим выполнения условий Коши-Римана. Надо сказать, частные производные здесь не то чтобы о-го-го, но уже не из простейших: Условия Коши-Римана выполнены.
Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.
В качестве эпилога короткая история про ступор, или о том, какие вопросы преподавателей являются самыми сложными. Самые сложные вопросы, как ни странно – это вопросы с очевидными ответами. А история такова: сдаёт человек экзамен по алгебре, тема билета: «Следствие основной теоремы алгебры». Экзаменатор слушает-слушает, а потом вдруг спрашивает: «А откуда это следует?». Вот это был ступор, так ступор. Вся аудитория уже угорала, но студент так и не сказал правильного ответа: «из основной теоремы алгебры».
Вспоминаю историю и из личного опыта, сдаю физику, что-то там про давление жидкости, что уже не помню, но рисунок остался в памяти навсегда – изогнутая труба, по которой текла жидкость. Ответил я билет «на отлично», причем даже сам понял, что ответил. И вот преподаватель напоследок спрашивает: «Где здесь трубка тока?». Крутил-вертел я этот чертёж с изогнутой трубой минут пять, высказывал самые дикие версии, пилил трубу, рисовал какие-то проекции. А ответ был прост, трубка тока – это вся труба.
Неплохо разгрузились, до встречи на уроке Как найти функцию комплексной переменной? Там разобрана обратная задача.
Иногда очевидное – это самое сложное, всем желаю не тормозить!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: так как , то: Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Пример 4: Решение: Так как , то: Таким образом: – действительная часть функции ; – мнимая часть функции . Проверим выполнение условий Коши Римана: Условие выполнено. Условие также выполнено. Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную: Ответ: – действительная часть, – мнимая часть. Условия Коши-Римана выполнены, .
Пример 6: Решение: определим действительную и мнимую части данной функции. Так как , то: Таким образом: – действительная часть функции ; – мнимая часть функции . Проверим выполнение условий Коши-Римана: Условия Коши-Римана выполнены. Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,
Пример 8: Решение: Так как , то: Таким образом: – действительная часть функции ; – мнимая часть функции . Проверим выполнение условий Коши-Римана: Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную: Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,
Пример 10: Решение: Так как , то: Таким образом: – действительная часть функции ; – мнимая часть функции . Проверим выполнение условий Коши-Римана: Условия Коши-Римана выполнены. Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.
Автор: Емелин Александр